نهاية متتالية : تذكرةالمتتاليات

لا تبدأ من الصيغة، بل من الصورة. ارسم على مستقيم الأعداد كلّ حدود المتتالية. إذا كان لها نهايةٌ حقيقيّة $\mathrm{\ell }$، فمهما رسمتَ حولها مجالاً ضيّقاً، وجدتَ داخله كلّ الحدود إلّا عدداً منتهياً منها. هذا هو التعريف، حرفيّاً.

تذكّر: كلمتان تحملان التعريف. الأولى «كلُّ مجال»: لا يكفي أن ينجح مجالٌ واحد، بل كلّ مجالٍ مهما ضاق. والثانية «بدءاً من دليل معيّن»: لا يُطلب أن تكون كلّ الحدود داخله، بل كلّها ابتداءً من مكانٍ ما.

انتبه: الخطأ الأشهر هنا أن تقرأ التعريف بمجالٍ واحد. لو اكتفينا بذلك لصارت كلّ متتاليةٍ محدودة متقاربة، وهذا باطل. ولهذا بالضبط يعود الكتاب في المقطع الرابع من هذا الدرس ويعيد الحساب بتسامحٍ عامّ بدل رقمٍ بعينه.

الصورة نفسها، لكنّ المجال يتغيّر. بدل مجالٍ ضيّقٍ حول عدد، نأخذ مجالاً مفتوحاً نحو اليمين بلا نهاية. والشرط لم يتبدّل: كلّ الحدود بدءاً من دليل.

متتاليةٌ واحدة تستحقّ مبرهنةً كاملةً لنفسها، لأنّ كثيراً من التمارين تُرجَع إليها بحيلةٍ أو أخرى: $q^n$. والمبرهنة تفصّل أربع حالات، وفيها حالةٌ يُنسى وجودها.

انتبه: الحالة الرابعة هي الفخّ. $q=-1$ ليست داخل الحالة الأولى، لأنّ الشرط $-1<q$ صارم. عندها $u_n=(-1{)}^n$ تتناوب بين $1$ و$-1$، ولا نهاية لها. ومن هنا نتيجةٌ عامّة: أن تكون متتاليةٌ غير متقاربة لا يعني أنّها تسعى إلى $\pm \mathrm{\infty }$، هناك احتمالٌ ثالث.

حتّى الآن التعريف صورةٌ لا يُحسب بها. هنا يتحوّل إلى حساب: يُعطى تسامحٌ، ويُطلب الدليل الذي تصير منه كلّ الحدود داخله.

الكتاب يعود إلى المتتالية نفسها في فقرة «فَكِّر» ويصل إلى النتيجة من طريقٍ آخر تماماً: يحسب $u_{n+1}$ ويجمع $1-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ في ${\displaystyle \frac{1}{2}}$، فيظهر أنّ $u_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n$. أي إنّ المتتالية هندسيّةٌ بالتعريف التدريجيّ، لا بالصيغة الصريحة. طريقان، ونتيجةٌ واحدة.

الكتاب يختم بسؤالين في فقرة «تكريساً للفهم»، وكلاهما يقيس دقّة اللغة قبل أن يقيس الحساب.

انتبه: هذه أهمّ جملةٍ في الدرس للامتحان: من حدودٍ موجبةٍ تماماً لا يتبع أنّ النهاية موجبةٌ تماماً، بل أنّها موجبة فقط. في العبور إلى النهاية يصير $<$ هو $\le$، دائماً.

والسؤال الثاني يربط الدرس بالوحدة الثانية: التماثل بين التعريفين واضح، لأنّ المتتاليات حالاتٌ خاصّة من التوابع. أن يكون ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=+\mathrm{\infty }$ يعني أنّ $f(x)>M$ بدءاً من عتبة $A$، وأن يكون ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ يعني أنّ $u_n>M$ بدءاً من دليل $n_0$. العتبة صارت دليلاً، ولا شيء غير ذلك تغيّر. من هذا الرباط تُبنى مبرهنة الدرس التالي.