متتاليات متجاورةالمتتاليات

لنفترض أنّ لدينا مقداراً مجهولاً $L$، ونعرف عنه أوّلاً أنّه محصورٌ بين عددين معلومين: $t_0<L<s_0$. في خطوةٍ أولى نُضيّق الحصر فنحصل على $t_0<t_1<L<s_1<s_0$، وبعد $n$ خطوة نصل إلى سلسلةٍ أطول.

انظر ماذا فعلنا من دون أن نسمّيه: المتتالية $(t_n)$ تصعد، والمتتالية $(s_n)$ تنزل، والمجال $[t_n,s_n]$ الذي يحصر $L$ يضيق حتّى يسعى طوله إلى الصفر. هذه الملاحظات الثلاث هي التعريف الذي يأتي بعد قليل.

انتبه: الشروط الثلاثة تُقرأ معاً، لا اثنان منها. $t_n=-n$ و $s_n=n$ متعاكستان في الاطّراد، لكنّ فرقهما $2n$ يكبر بلا حدّ، فليستا متجاورتين. وبالمقابل $t_n=n$ و $s_n=n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$ فرقهما يسعى إلى الصفر، لكنّهما تصعدان معاً ولا تتقارب أيٌّ منهما.

تذكّر: التعريف يقول «إحداهما … والأخرى»، ولا يعيّن أيّهما الصاعدة. تحقّق بالحساب قبل أن ترتّب الفرق، وإلّا انقلبت عليك الإشارة.

المبرهنة لا تطلب شيئاً غير التعريف: لا محدوديّة، ولا $t_n\le s_n$. الاثنان يخرجان من البرهان نفسه نتيجةً، لا شرطاً.

تذكّر: لا تكتب $t_n\le s_n$ لأنّ الرمزين يوحيان بذلك. التعريف لا يذكره، والبرهان يستخرجه في خطوته الثانية.

انتبه: المبرهنة تضمن وجود النهاية المشتركة، ولا تعطي قيمتها. من $t_n\le \mathrm{\ell }\le s_n$ وحدها لا يخرج عدد.

متتاليتان معرّفتان تدريجياً: $t_0=1$ و $s_0=\mathrm{1<!--\; -->2}$، ولكلّ $n$:

انتبه: النهاية المشتركة ليست وسط الحدّين الأوّلين. هنا ${\displaystyle \frac{t_0+s_0}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1<!--\; -->3}}{2}}$، والنهاية $9$. الوزنان في $3t_n+8s_n$ غير متساويين، ولذلك تقع النهاية أقرب إلى $s_0$.

التابع $x\mapsto x^2$ متزايدٌ تماماً على $[0,+\mathrm{\infty }[$، وهذا وحده يكفي لحصر $\sqrt{2}$ بخطواتٍ متتالية، كلٌّ منها تنصّف المجال السابق.

تذكّر: في كلّ خطوة يتغيّر حدٌّ واحد فقط، والآخر يُنقل كما هو. لذلك المتتاليتان متزايدة ومتناقصة بالمعنى الواسع، لا تماماً.