تقارب المتتاليات المطَّردةالمتتاليات

قبل الاطّراد نحتاج مفردةً واحدة: متى نقول إنّ متتاليةً محدودة؟ والجواب ليس عن المتتالية بل عن عددٍ يقف في طريقها.

تذكّر: الحدّ ليس وحيداً أبداً. كلّ عددٍ أكبر من عنصرٍ راجح هو عنصرٌ راجحٌ أيضاً، وكلّ عددٍ أصغر من عنصرٍ قاصر هو عنصرٌ قاصر. فإذا وجدتَ حدّاً فقد وجدتَ ما لا نهاية له من الحدود، والسؤال عن أصغرها سؤالٌ آخر تماماً.

انتبه: انتبه إلى نفي العبارة، فالكتاب يكتبه بنفسه: أن تكون متتاليةٌ غير محدودةٍ من الأعلى يعني أنّه مهما كبر العدد $A$ وُجد حدٌّ واحدٌ $u_N$ يتجاوزه. حدٌّ واحد يكفي، لا كلّ الحدود. هذا هو الفرق بين النفي الصحيح والنفي المتسرّع.

خذ متتاليةً متزايدة. أمامها احتمالان لا ثالث لهما: إمّا أن يوقفها حدٌّ من الأعلى، وإمّا ألّا يوقفها شيء. المبرهنتان الآتيتان تقولان ما يحدث في كلّ حالة، والفرق بينهما كلمةٌ واحدة: «غير».

تذكّر: لاحظ التقاطع: المتزايدة تُقرن بالحدّ من الأعلى، والمتناقصة بالحدّ من الأدنى. الحدّ يقف حيث تمضي المتتالية، لا حيث جاءت منها. أمّا الجهة الأخرى فمجّانيّة: متتاليةٌ متزايدة محدودةٌ من الأدنى بحدّها الأوّل، دائماً وبلا إثبات، ولذلك لا تُذكر.

انتبه: الكتاب يقول عن هذه المبرهنة صراحةً: هذه خاصّة مهمّة من خواصّ مجموعة الأعداد الحقيقيّة، سنقبلها دون إثبات. ليست مبرهنةً تُشتقّ ممّا سبق، بل خاصّةٌ للأعداد الحقيقيّة نفسها. لا تبحث عن برهانها في هذا الكتاب، لأنّه ليس فيه.

انتبه: وأهمّ ما لا تقوله: المبرهنة لا تعطي النهاية، بل تثبت وجودها فقط. في حالة المتزايدة المحدودة من الأعلى تكون النهاية أصغر العناصر الراجحة، ويسمّيها الكتاب الحدّ الأعلى للمتتالية. وفي حالة المتناقصة المحدودة من الأدنى تكون أكبر العناصر القاصرة، ويسمّيها الحدّ الأدنى للمتتالية. والعنصر الذي وجدتَه أنت ليس بالضرورة هو، فلا تخلط بين عنصرٍ راجحٍ ونهاية.

الكتاب يخصّص رُكناً كاملاً لهدم عكسين شائعين، ويهدمهما بمثالين مبنيّين بعناية. كلاهما يستعمل $(-1{)}^n$ لخلط الترتيب: الأوّل يُنزل نصف الحدود إلى الصفر، والثاني يبقيها موجبةً لكن يجعلها تصعد وتنزل.

الآن يجتمع الدرسان. الدرس السابق قال: إن كانت للمتتالية التدريجيّة نهايةٌ حقيقيّة $\mathrm{\ell }$، وكان $f$ مستمرّاً عند $\mathrm{\ell }$، فهي حلٌّ للمعادلة $f(x)=x$، ولم يعطِ التقارب. وهذا الدرس يعطي التقارب. الترتيب بينهما ليس اختياريّاً.

انتبه: لا تقلب الترتيب. من حلّ $f(x)=x$ أوّلاً فقد وجد مرشّحاً لا نهاية، وقد لا تتقارب المتتالية أصلاً. الشرطان يأتيان قبل المعادلة، لا بعدها.

بقي سؤالٌ عمليّ: المبرهنة تطلب حدّاً، فمن أين يأتي؟ الكتاب يقول أوّلاً ما لا يقال كثيراً: ليست هناك طرائق عامّة. ثمّ يعطي خمس قواعد صغيرة تُستعمل بالتركيب.

انتبه: القاعدة الخامسة هي التي تُخطأ. للحصول على ${\displaystyle \frac{a}{b}}\le {\displaystyle \frac{c}{d}}$ تحتاج شرطين معاً، $a\le c$ في البسط و$b\ge d$ في المقام. من قارن البسطين فقط وترك المقامين حصل على متراجحةٍ قد تكون معكوسة.