المسألة 43 من المسائل العامّة

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. احسب سرعة الإفلات من جاذبيّة المرّيخ.

   العلاقة

   سرعة الإفلات من سطح جسمٍ جاذبٍ كتلته $M$ ونصف قطره $R$، و$G$ ثابت التجاذب العالميّ:

   $$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$$

   التعويض

   المعطى قطر المرّيخ، فنصف قطره $R=\frac{\mathrm{6<!--\; -->8<!--\; -->0<!--\; -->0}}{2}=\mathrm{3<!--\; -->4<!--\; -->0<!--\; -->0}\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{m}$، و$G=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->1}}\mathrm{N}\mathrm{.}{\mathrm{m}}^2\mathrm{.}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle GM=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->1}}\times \mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{2<!--\; -->3}}}\\ {\displaystyle GM\approx \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->3}}}\\ {\displaystyle v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\times \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->3}}}{\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6}}}}\\ {\displaystyle v=\sqrt{\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^7}}\end{array}$$

   الجواب

   $$v\approx \mathrm{5<!--\; -->.<!--\; -->0}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^3\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$$

   أي نحو $5\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، أقلّ من نصف سرعة الإفلات من الأرض، $\mathrm{1<!--\; -->1<!--\; -->.<!--\; -->3}\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$، الكتاب، الصفحة 249.

2. 2. لو ضغط المرّيخ حتى أصبح ثقباً أسودَ فاحسب نصف قطر المرّيخ عندئذ.

   العلاقة

   يصير الجسم ثقباً أسود إذا بلغت سرعة الإفلات من سطحه سرعة الضوء في الخلاء، وكتلته لا تتغيّر بالضغط. فنصف قطره عندئذٍ نصف قطر شفارتزشيلد:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle c=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{r}}}}\\ {\displaystyle r={\displaystyle \frac{2GM}{c^2}}}\end{array}$$

   التعويض

   مع $c=3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle r={\displaystyle \frac{2\times \mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->6<!--\; -->7}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-\mathrm{1<!--\; -->1}}\times \mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{2<!--\; -->3}}}{(3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8{)}^2}}}\\ {\displaystyle r={\displaystyle \frac{\mathrm{8<!--\; -->.<!--\; -->5<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->3}}}{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->6}}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$r\approx \mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->5}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-4}\mathrm{m}$$

   أي أقلّ من $1\mathrm{m}\mathrm{m}$: كرةٌ قطرها نحو $2\mathrm{m}\mathrm{m}$ تحمل كتلة المرّيخ كلّها.