المسألة الأولى

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن.

1. 1. كم يجبُ أن يكونَ نصفُ قطرِها؟

   العلاقة

   يصير الجسم ثقباً أسود إذا بلغت سرعة الإفلات من سطحه سرعة الضوء، $\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{r}}}=c$، فنصف قطره نصف قطر شفارتزشيلد. و$GM$ نجده من تسارع الجاذبيّة عند السطح الحاليّ، $g={\displaystyle \frac{GM}{R^2}}$:

   $$r={\displaystyle \frac{2GM}{c^2}}GM=g{R}^2$$

   التعويض

   مع $R=\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6\mathrm{m}$ و$c=3\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^8\mathrm{m}\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-1}$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle GM=\mathrm{1<!--\; -->0}\times (\mathrm{6<!--\; -->.<!--\; -->4}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^6{)}^2}\\ {\displaystyle GM\approx \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->4}}{\mathrm{m}}^3\mathrm{.}{\mathrm{s}}^{-2}}\\ {\displaystyle r={\displaystyle \frac{2\times \mathrm{4<!--\; -->.<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->4}}}{9\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{\mathrm{1<!--\; -->6}}}}}\end{array}$$

   الجواب

   $$r\approx \mathrm{9<!--\; -->.<!--\; -->1}\times {\mathrm{1<!--\; -->0}}^{-3}\mathrm{m}$$

   أي نحو $9\mathrm{m}\mathrm{m}$: كتلة الأرض كلّها في كرةٍ أصغر من حبّة كرز.

2. 2. هل ستبتلعُ الأرضُ عندَئذِ القمرَ إذا تجمَّعَت كتلةُ الأرض حولَ مركزِها؟ لماذا برأيك؟

   العلاقة

   قوّة جذب الأرض للقمر بقانون نيوتن تتعلّق بالكتلتين وبالبعد بين المركزين فقط، لا بنصف قطر الأرض:

   $$F=G{\displaystyle \frac{Mm}{d^2}}$$

   الجواب

   لا. كتلة الأرض $M$ لم تتغيّر، والبعد $d$ بين مركزي الأرض والقمر لم يتغيّر، فقوّة الجذب على القمر هي نفسها، ويتابع القمر دورانه على مداره. الجاذبيّة الهائلة لا تظهر إلّا قرب الثقب الأسود، على أبعادٍ أصغر بكثيرٍ من نصف قطر الأرض الحاليّ.