البرهان بالتدريج، أو بالاستقراء الرياضيالمتتاليات

لماذا لا يكفي التحقّق من $E(1)$ و $E(2)$ و $E(3)$؟

• لأنّ عدد الحالات غير منتهٍ، والتحقّق من ثلاثٍ لا يقول شيئاً عن الباقي
• يكفي، فثلاث حالاتٍ صحيحة تكفي للتعميم
• لأنّ الحساب عند $n=4$ صعب

ما الذي تقوله الصورة (السُّلَّم) بالأزرق؟

• جملتان: أنّنا نبلغ الدرجة القاعديّة، وأنّنا نصعد من $p$ إلى $p+1$
• جملة واحدة: أنّنا نصعد من درجةٍ إلى التي تليها
• أسماء الدرجات

في الخطوة ②، أيّ العبارتين مفروضة وأيّهما مطلوبة؟

• $E(p+1)$ مفروضة و $E(p)$ مطلوبة
• $E(p)$ مفروضة و $E(p+1)$ مطلوبة
• كلتاهما مفروضة

الخطوة ⓪ التي أضافها الكتاب في «تكريساً للفهم» تطلب أمرين. ما هما؟

• حساب $E(0)$ و $E(1)$ معاً
• كتابة الخاصّة $E(n)$ بوضوح، وتحديد الدليل الابتدائيّ $n_0$
• اختيار الحرف $p$ أو $n$

في مثال المكعّبات، ما $E(n+1)$ تحديداً؟

• $\frac{(n+1{)}^2(n+1{)}^2}{4}$
• $\frac{n^2(n+2{)}^2}{4}$
• $\frac{(n+1{)}^2(n+2{)}^2}{4}$

في مثال قابليّة القسمة، لماذا كُتب $4^{n+1}+2$ بالشكل $4(4^n+2)-6$؟

• لأنّه أقصر
• لأنّ هذا الشكل يُظهر المقدار المفروض $4^n+2$ داخل الحساب
• لأنّ $6$ مضاعفٌ للعدد $3$

لماذا فُحصت $E(0)$ في المثال الثاني و $E(1)$ في الأوّل؟

• لأنّ كلّ خاصّةٍ تبدأ من دليلها الخاصّ، و $n_0$ يختلف بين المسألتين
• لأنّ $4^n+2$ غير معرّف عند $n=1$
• لأنّ الدليل الابتدائيّ يكون $1$ دائماً في المساواة و $0$ في القسمة

طالبٌ برهن الخطوة ② صحيحةً، لكنّه لم يفحص الحالة القاعديّة. ماذا أثبت؟

• لا شيء عن صحّة الخاصّة
• أثبت الخاصّة عند كلّ $n\ge n_0$
• أثبت الخاصّة عند $n_0$

ما معنى قول الكتاب «أثبتنا صحّتها اعتماداً على صحّة $E(n)$»؟

• أنّ $E(n)$ و $E(n+1)$ متكافئتان
• أنّ $E(n)$ صحيحة عند كلّ $n$
• أنّ الافتراض استُعمل فعلاً في سطور الحساب