البرهان بالتدريج، أو بالاستقراء الرياضيالمتتاليات

تخيّل سُلَّماً درجاته مرقّمة. تريد أن تصل إلى كلّ درجةٍ دليلها $n\ge n_0$. يكفيك أمران: أن تتمكّن من بلوغ الدرجة القاعديّة $n_0$، وأن تتمكّن من الصعود من أيّة درجةٍ $p$ إلى التي تعلوها مباشرةً $p+1$. عندئذٍ تبلغ كلّ درجةٍ فوق القاعديّة، مهما علت.

انتبه: الخطوة ② وحدها لا تكفي. من يقدر على الصعود درجةً واحدة ولا يبلغ القاعديّة أبداً، لا يصل إلى شيء. ومن تحقّق من ثلاث حالاتٍ فقط لم يبرهن، بل وجد السبب الذي يجعله يحتاج إلى التدريج.

نستعمل البرهان بالتدريج حين نريد إثبات خاصّةٍ تتبع متحوّلاً طبيعيّاً $n$ يتحوّل في $\mathbb{N}$ أو في مجموعةٍ من النمط $\{n\in \mathbb{N}:n\ge n_0\}$. ويجري الإثبات وفق ثلاث خطوات، والأولى منها ليست في الصياغة المختصرة أعلاه.

تذكّر: الصياغة العامّة تستعمل الحرف $p$ للمفروض كي يبقى $n$ حرّاً، والكتاب نفسه يكتب $n$ في المثالين. كلاهما مقبول؛ غير المقبول أن تخلط الحرفين في برهانٍ واحد.

أثبت أنّه مهما كان العدد الطبيعيّ الموجب تماماً $n$ كانت المساواة الآتية محقّقة.

تذكّر: الآن أجب عن سؤال البداية: من المتتالية الحسابيّة نعرف $1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$، فمربّعه ${\displaystyle \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}}$، وهو ما أثبتناه. إذن $1^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n{)}^2$.

الخاصّة $E(n)$ ليست بالضرورة مساواة. أثبت أنّه مهما كان العدد الطبيعيّ $n$ كان $4^n+2$ مضاعفاً للعدد $3$. هنا الدليل الابتدائيّ $n_0=0$، لا $1$.

انتبه: لا تتحقّق من قابليّة القسمة بالأرقام وحدها. أن يكون $4^0+2$ و $4^1+2$ و $4^2+2$ مضاعفاتٍ للعدد $3$ لا يثبت شيئاً عن باقي الأعداد؛ هذا بالضبط ما بدأ به هذا الدرس.