الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: البرهان بالتدريج، أو بالاستقراء الرياضي

تذكرة بالمتتاليات، والإثبات بالتدريج . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. لماذا لا يكفي التحقّق من $E (1)$ و $E (2)$ و $E (3)$ ؟
- أ)لأنّ عدد الحالات غير منتهٍ، والتحقّق من ثلاثٍ لا يقول شيئاً عن الباقي
- ب)يكفي، فثلاث حالاتٍ صحيحة تكفي للتعميم
- ج)لأنّ الحساب عند $n = 4$ صعب
2. ما الذي تقوله الصورة (السُّلَّم) بالأزرق؟
- أ)جملتان: أنّنا نبلغ الدرجة القاعديّة، وأنّنا نصعد من $p$ إلى $p + 1$
- ب)جملة واحدة: أنّنا نصعد من درجةٍ إلى التي تليها
- ج)أسماء الدرجات
3. في الخطوة ②، أيّ العبارتين مفروضة وأيّهما مطلوبة؟
- أ) $E (p + 1)$ مفروضة و $E (p)$ مطلوبة
- ب) $E (p)$ مفروضة و $E (p + 1)$ مطلوبة
- ج)كلتاهما مفروضة
4. الخطوة ⓪ التي أضافها الكتاب في «تكريساً للفهم» تطلب أمرين. ما هما؟
- أ)حساب $E (0)$ و $E (1)$ معاً
- ب)كتابة الخاصّة $E (n)$ بوضوح، وتحديد الدليل الابتدائيّ $n_{0}$
- ج)اختيار الحرف $p$ أو $n$
5. في مثال المكعّبات، ما $E (n + 1)$ تحديداً؟
- أ) $\frac{(n + 1)^{2} (n + 1)^{2}}{4}$
- ب) $\frac{n^{2} (n + 2)^{2}}{4}$
- ج) $\frac{(n + 1)^{2} (n + 2)^{2}}{4}$
6. في مثال قابليّة القسمة، لماذا كُتب $4^{n + 1} + 2$ بالشكل $4 (4^{n} + 2) - 6$ ؟
- أ)لأنّه أقصر
- ب)لأنّ هذا الشكل يُظهر المقدار المفروض $4^{n} + 2$ داخل الحساب
- ج)لأنّ $6$ مضاعفٌ للعدد $3$
7. لماذا فُحصت $E (0)$ في المثال الثاني و $E (1)$ في الأوّل؟
- أ)لأنّ كلّ خاصّةٍ تبدأ من دليلها الخاصّ، و $n_{0}$ يختلف بين المسألتين
- ب)لأنّ $4^{n} + 2$ غير معرّف عند $n = 1$
- ج)لأنّ الدليل الابتدائيّ يكون $1$ دائماً في المساواة و $0$ في القسمة
8. طالبٌ برهن الخطوة ② صحيحةً، لكنّه لم يفحص الحالة القاعديّة. ماذا أثبت؟
- أ)لا شيء عن صحّة الخاصّة
- ب)أثبت الخاصّة عند كلّ $n \geq n_{0}$
- ج)أثبت الخاصّة عند $n_{0}$
9. ما معنى قول الكتاب «أثبتنا صحّتها اعتماداً على صحّة $E (n)$ »؟
- أ)أنّ $E (n)$ و $E (n + 1)$ متكافئتان
- ب)أنّ $E (n)$ صحيحة عند كلّ $n$
- ج)أنّ الافتراض استُعمل فعلاً في سطور الحساب
10. أيّ الصيغتين يستعملها الكتاب اسماً لهذا الأسلوب؟
- أ)«الاستقراء الرياضي» وحده
- ب)«البرهان بالخُلف»
- ج)«الإثبات بالتدريج» و«الاستقراء الرياضي» معاً، وهما اسمان لشيءٍ واحد
11. استعمل طالبٌ الحرف $p$ في سطرٍ من الخطوة ② والحرف $n$ في السطر التالي للدور نفسه. ما الحكم؟
- أ)لا بأس، فالكتاب نفسه يستعمل الحرفين
- ب)خطأ انضباط: يُختار حرفٌ واحد للدور نفسه في البرهان كلّه
- ج)يجب استعمال $p$ دائماً، فهي صيغة الكتاب
12. طالبٌ أراد إثبات الخطوة ② في مثال $4^{n} + 2$ ، فحسب $4^{3} + 2 = 66$ و $4^{4} + 2 = 258$ ووجدهما مضاعفين للعدد $3$ . ماذا فعل؟
- أ)برهن الانتقال، لأنّ الحالتين متتاليتان
- ب)تحقّق من حالتين أخريين ولم يبرهن الانتقال
- ج)برهن، لأنّ حالتين بعد الحالة القاعديّة تكفيان
13. لماذا يبدأ الكتاب بكتابة $E (n)$ بوضوح قبل أيّ حساب؟
- أ)لأنّك من دون نصّ $E (n)$ لا تستطيع التحقّق أنّ سطرك الأخير هو $E (n + 1)$
- ب)ليست خطوةً ضروريّة، يكفي أن تبدأ الحساب مباشرةً
- ج)لترتيب البرهان وتنسيقه فقط
14. في تمرين الكتاب $S_{n} = 1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ، ما $E (n + 1)$ ؟
- أ) $\frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 1)}{6}$
- ب) $\frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 3)}{6}$
- ج) $\frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 2)}{6}$
15. متى ينتهي البرهان بالتدريج؟
- أ)بانتهاء حساب الخطوة ②
- ب)بالتحقّق من الحالة القاعديّة
- ج)بجملةٍ تقول إنّ $E (n)$ صحيحة مهما كان $n \geq n_{0}$
16. في تمرين الكتاب: $x > - 1$ والخاصّة $E (n)$ هي $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$ في حالة $n \geq 0$ . ما الحالة القاعديّة؟
- أ) $(1 + x)^{1} \geq 1 + x$ ، وهي محقّقة
- ب)لا يمكن الفحص عند $0$ لأنّ $x$ قد يكون سالباً
- ج) $(1 + x)^{0} \geq 1 + 0 \cdot x$ ، أي $1 \geq 1$

سلّم التصحيح

1. أ نعم. الكتاب يحسبها ثمّ يسأل صراحةً كيف نبرهن، «ونحن لا نمتلك القدرة على التحقُّق عدداً غيرَ منتهٍ من المرات». الحالات الثلاث سببُ الحاجة إلى التدريج، لا بديلٌ عنه.
2. أ نعم، والأزرق هو ما نقدر عليه، بينما البنفسجيّ يسمّي الدرجات. هاتان الجملتان هما الخطوتان ① و ②.
3. ب نعم. الفعلان يفصلان الدورين: «نفترض» للمفروض، «نبرهن» للمطلوب.
4. ب نعم. ومن لا يكتب ما تقوله $E (n)$ بالضبط، لا يستطيع لاحقاً أن يتحقّق أنّ سطره الأخير هو $E (n + 1)$ .
5. ج نعم: ضع $n + 1$ مكان $n$ في $\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}$ فتحصل عليها. وإلى هذا الشكل بالذات وصل الحساب.
6. ب نعم. الخطوة ② لا تحسب شيئاً جديداً، بل تُعيد الترتيب حتّى يظهر الافتراض ويُستعمل.
7. أ نعم. الكتاب يقول «وفي أغلب الأحيان يكون $n_{0} = 0$ أو $n_{0} = 1$ » ويصنع الحالتين.
8. أ نعم. أثبت انتقالاً بلا منطلق. لو كانت $E (n)$ خاطئةً عند كلّ $n$ ، لبقي الانتقال صحيحاً وبلا فائدة.
9. ج نعم. إن لم يظهر المفروض في الحساب، فما جرى تحقّقٌ من حالةٍ أخرى، لا انتقال.
10. ج نعم، والعنوان نفسه يجمعهما: «البرهان بالتدريج، أو بالاستقراء الرياضي».
11. ب نعم. الحرفان مقبولان كلٌّ على حدة، وغير المقبول أن يتناوبا على الدور الواحد في برهانٍ واحد.
12. ب نعم. الخطوة ② تُبرهن بالحساب الحرفيّ $4^{n + 1} + 2 = 4 (4^{n} + 2) - 6$ ، لا بأرقام. وهذا هو الفرق الذي بدأ به الدرس.
13. أ نعم. $E (n + 1)$ تُعرَّف بوضع $n + 1$ مكان $n$ في $E (n)$ ، فمن لم يكتب $E (n)$ لا يملك ما يقارن به.
14. ب نعم. ضع $n + 1$ مكان $n$ في كلّ موضع: $n \to n + 1$ ، $n + 1 \to n + 2$ ، $2 n + 1 \to 2 n + 3$ .
15. ج نعم. تلك الجملة هي حصاد التدريج، وهي التي تجمع الخطوتين في نتيجةٍ واحدة.
16. ج نعم، وهي محقّقة. الطرفان يساويان $1$ ، والمتراجحة الواسعة تقبل التساوي.