عموميّات عن المتتالياتالمتتاليات

خذ تابعاً وامنع عنه كلّ عددٍ ليس طبيعيّاً. ما يبقى هو متتالية. لهذا لا نكتب $f(n)$ بل $u_n$، ولا نقول «قيمة التابع عند $n$» بل «الحدّ ذو الدليل $n$». الرمز تغيّر، والفكرة هي هي.

لاحظ الجملة الثانية في التعريف: مجموعة التعريف قد تبدأ من $n_0$ لا من الصفر، و$n_0$ يتغيّر من متتالية إلى أخرى. الكتاب يعطي مثالين في السطر نفسه: $\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$ تبدأ من $n_0=1$، و$\left({\displaystyle \frac{1}{n^2-1}}\right)$ تبدأ من $n_0=2$. في الحالتين ليس الاختيار ذوقاً، بل ضرورة: عند الدليل السابق يصير المقام صفراً.

انتبه: لا تكتب $(u_n{)}_{n\ge 0}$ بحكم العادة. الدليل الابتدائيّ جزءٌ من المتتالية نفسها، وكتابته خطأً تعني أنّك تدّعي وجود حدٍّ غير موجود. اسأل أوّلاً: عند أيّ دليلٍ يصير التعبير معرَّفاً؟

وثمّة تمييزٌ يقيم الكتاب عليه سطراً كاملاً: للمتتالية عددٌ لا نهائيٌّ من الحدود بقطع النظر عن قيم هذه الحدود. عدد الحدود شيء، وعدد القيم التي تظهر شيء آخر تماماً.

تذكّر: هذه المتتالية لها قيمتان اثنتان، ولها عددٌ لا نهائيّ من الحدود. من قال «متتالية ذات حدّين» فقد خلط بين القيمة والحدّ.

الكتاب يذكر طريقتين، لا ثالثة لهما. الأولى تعطيك الحدّ مباشرةً بدلالة دليله، والثانية تعطيك حدّاً واحداً وقاعدةً للانتقال.

انتبه: من دون هذا الشرط قد تتوقّف المتتالية بعد خطوتين. خذ $f:x\mapsto \sqrt{x-5}$ على $[5,+\mathrm{\infty }[$ وابدأ من $u_0=9$: يكون $u_1=2$، وهو خارج المجال، فلا معنى لـ $u_2$ أصلاً. اكتب الشرط قبل أن تكتب الحدود.

السؤال الأوّل عن أيّ متتالية هو: إلى أين تمضي؟ والجواب الأوّل ليس نهايةً بل اتّجاهاً. الكتاب يفصّل خمس حالات، لا اثنتين.

تذكّر: المتتاليات التي تحقّق إحدى هذه الحالات تسمّى متتاليات مطّردة. وتوجد متتاليات غير مطّردة، والكتاب يعطي المثال في السطر نفسه: $u_n=(-1{)}^n$ لا تتزايد ولا تتناقص.

انتبه: أكثر ما يُخطأ فيه هنا شيئان. الأوّل: استعمال أداة النسبة من دون التحقّق من أنّ الحدود موجبةٌ تماماً. الثاني: قراءة إشارة $u_n$ بدل إشارة $u_{n+1}-u_n$. متتاليةٌ كلّ حدودها سالبة يمكن أن تكون متزايدةً تماماً، مثل $u_n=-{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

متتاليتان بالذات لهما اسمٌ خاصّ، لأنّ الانتقال من حدٍّ إلى تاليه فيهما يجري بالعمليّة نفسها في كلّ خطوة: جمعٌ في الأولى، ضربٌ في الثانية.

انتبه: في صيغة المجموع $n$ هو عدد الحدود، لا دليل الحدّ الأخير. في $u_{\mathrm{2<!--\; -->5}}+u_{\mathrm{2<!--\; -->6}}+\cdots +u_{\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->5}}$ عدد الحدود هو $\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->5}-\mathrm{2<!--\; -->5}+1=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->1}$، لا $\mathrm{1<!--\; -->2<!--\; -->5}$ ولا $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}$. عُدَّ الحدود قبل أن تكتب الصيغة.

انتبه: الشرط $q\mathrm{\ne }1$ ليس زينة. عند $q=1$ يصير المقام $1-1=0$، والصيغة بلا معنى. والجواب في هذه الحالة أبسط من الصيغة: كلّ الحدود تساوي $a$، فالمجموع هو $n\times a$.

الكتاب لا يترك صيغة المجموع الهندسيّ بلا مصدر، ولا يبرهنها بالتدريج، لأنّ التدريج لم يأتِ بعد. يستنتجها من مطابقةٍ جبريّة تعرفها من قبل.

وهنا ينتهي الدرس، وتبقى ثغرةٌ واحدة مقصودة. كلّ ما أخذناه صحيح، ولم نبرهن جملةً واحدةً تشمل كلّ $n$ برهاناً مباشراً. حتّى المطابقة أعلاه أخذناها كما هي.

انتبه: الكتاب يضع الثغرة أمامك صراحةً في فقرة «فَكِّر» على الصفحة الثامنة: في متتالية $u_0=3$ و$u_{n+1}=u_n^2-2$ نجد $u_1=7$ و$u_2=\mathrm{4<!--\; -->7}$ و$u_3=\mathrm{2<!--\; -->2<!--\; -->0<!--\; -->7}$، وكلّها تنتهي بالرقم $7$. أصحيحٌ أنّ هذا يبقى إلى ما لا نهاية؟ ثلاث حالاتٍ صحيحة ليست برهاناً. الأداة التي تحسم مثل هذا السؤال هي موضوع الدرس التالي.