الدرس 3: الكتابة العقديّة للتحويلات الهندسيّة

التمرين الأوّل من امتحان 2023، الدورة الثانية

60 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2023، الدورة الثانية، الفرع العلميّ

تأمل الشكل المرسوم جانبا $A E M N$ ، $A B C D$ مربعان نختار معلم متجانس مباشر $(A; \vec{u}, \vec{v})$ ولتكن الأعداد العقدية $a$ ، $b$ ، $c$ ، $d$ ، $e$ ، $m$ ، $n$ ، $s$ الممثلة للنقاط $A$ ، $B$ ، $C$ ، $D$ ، $E$ ، $M$ ، $N$ ، $S$ .

المطلوب:

1.أثبت أنّ $d = i b$ و $e = - i n$ .
2.احسب $\frac{e - b}{d - n}$ واكتبه بالشكل الأسي واستنتج أنّ $(E B) ⊥ (N D)$ وأنّ $N D = E B$ .
3.إذا كانت $S$ صورة $D$ وفق انسحاب شعاعه $\vec{A C}$ ، اكتب $s$ بدلالة $c$ وَ $d$ .

الشكل: في ورقة الامتحان شكلٌ لم نرسمه هنا. فيه $A$ في الأسفل، و $B$ على يمينها، و $C$ فوق $B$ ، و $D$ فوق $A$ . والمربّع $A E M N$ أكبر ويقع على يسار $A B C D$ : $N$ على يسار $A$ ، و $E$ فوق $A$ وأعلى من $D$ ، و $M$ فوق $N$ . فالنقطة $D$ على الضلع $[A E]$ ، والنقاط $N$ و $A$ و $B$ على استقامةٍ واحدة. وفي الشكل أيضاً القطعة $[N D]$ ، والقطعة $[E B]$ بخطٍّ متقطّع.

الإشارة: اتّجاه الدوران يُقرأ من الشكل. $E$ صورة $N$ بالدوران الذي زاويته $- \frac{π}{2}$ لا $\frac{π}{2}$ . ومن أدار $N$ بزاوية $\frac{π}{2}$ وجد العدد $i n$ ، وهو يمثّل نقطةً تحت $A$ لا النقطة $E$ التي فوقها.

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. أثبت أنّ $d = i b$ و $e = - i n$ .(20 درجةً)
الدوران الأوّلالدرجة: 10
رؤوس المربّع $A B C D$ مرتّبةٌ في الشكل بعكس دوران عقارب الساعة، وهو الاتّجاه الموجب لأنّ المعلم مباشر. فـ $A D = A B$ و $(\vec{A B}, \vec{A D}) = \frac{π}{2}$ ، أي $D$ صورة $B$ بالدوران الذي مركزه $A$ وزاويته $\frac{π}{2}$ . والصيغة العقديّة للدوران $z^{'} - ω = e^{i θ} (z - ω)$ ، و $a = 0$ لأنّ $A$ مبدأ المعلم:
$\begin{array}{c} d - a = e^{i \frac{π}{2}} (b - a) \\ d = e^{i \frac{π}{2}} b = i b \end{array}$
ويقبل سلّم التصحيح كتابة الدوران «أو أي عبارة مكافئة».
الجوابالدرجة: 10
ورؤوس المربّع $A E M N$ مرتّبةٌ كذلك بالاتّجاه الموجب، فـ $A E = A N$ و $(\vec{A N}, \vec{A E}) = - \frac{π}{2}$ ، أي $E$ صورة $N$ بالدوران الذي مركزه $A$ وزاويته $- \frac{π}{2}$ :
$\begin{array}{c} e - a = e^{- i \frac{π}{2}} (n - a) \\ e = e^{- i \frac{π}{2}} n = - i n \end{array}$
الحرف $e$ في الطرف الأيسر اسم العدد الممثّل لـ $E$ ، أمّا $e^{- i \frac{π}{2}}$ فهو العدد $- i$ .
2. احسب $\frac{e - b}{d - n}$ واكتبه بالشكل الأسي واستنتج أنّ $(E B) ⊥ (N D)$ وأنّ $N D = E B$ .(30 درجةً)
التعويضالدرجة: 5
نعوّض $d = i b$ و $e = - i n$ من الطلب الأوّل:
$\frac{e - b}{d - n} = \frac{- i n - b}{i b - n}$
في سلّم التصحيح: يطبع السلّم سطر «العلاقة (التعويض+ الإصلاح + الشكل الأسي)» بدرجاته 5+5+5 في خانة الطلب الأوّل، فيصير مجموع الطلب الأوّل في السلّم 35 ومجموع هذا الطلب 15. وضعناه هنا لأنّه حساب هذا الطلب، ومجموع التمرين 60 في الحالتين.
الإصلاحالدرجة: 5
البسط $- (b + i n)$ ، والمقام $i b - n = i (b + i n)$ لأنّ $i \times i n = - n$ . و $b + i n = b - e$ لا ينعدم لأنّ $B \neq E$ ، فنختصره:
$\frac{e - b}{d - n} = \frac{- (b + i n)}{i (b + i n)} = - \frac{1}{i} = i$
الشكل الأسّيالدرجة: 5
طويلة $i$ تساوي $1$ ، وزاويته $\frac{π}{2}$ :
$\frac{e - b}{d - n} = e^{i \frac{π}{2}}$
التعامدالدرجة: 5
البسط $e - b$ يمثّل $\vec{B E}$ ، والمقام $d - n$ يمثّل $\vec{N D}$ . ومن المبرهنة 3 في درس «استعمال العدد العقديّ الممثّل لشعاع»، الجزء الثاني، زاوية خارج القسمة هي الزاوية من شعاع المقام إلى شعاع البسط:
$\begin{array}{c} (\vec{N D}, \vec{B E}) = \arg (\frac{e - b}{d - n}) \\ = \frac{π}{2} (2 π) \end{array}$
فالمستقيمان $(E B)$ و $(N D)$ متعامدان: $(E B) ⊥ (N D)$ .
الجوابالدرجة: 5+5
وطويلة خارج القسمة هي نسبة طولَي الشعاعين:
$\begin{array}{c} \frac{B E}{N D} = ∣ \frac{e - b}{d - n} ∣ = ∣ i ∣ = 1 \\ N D = E B \end{array}$
3. إذا كانت $S$ صورة $D$ وفق انسحاب شعاعه $\vec{A C}$ ، اكتب $s$ بدلالة $c$ وَ $d$ .(10 درجات)
العلاقةالدرجة: 5
صيغة الانسحاب في درس «الكتابة العقديّة للتحويلات الهندسيّة» هي $z^{'} = z + b$ ، حيث $b$ العدد الممثّل لشعاع الانسحاب. والحرف $b$ في هذا التمرين اسم العدد الممثّل لـ $B$ ، فنكتب مكانه العدد الممثّل لـ $\vec{A C}$ ، وهو $c - a$ :
$s = d + (c - a)$
الجوابالدرجة: 5
و $a = 0$ :
$s = c + d$
تحقّق: $s - d = c - a$ ، أي $\vec{D S} = \vec{A C}$ . وفي رأس هذا القسم من سلّم التصحيح تبادلت درجتا التمرينين الأوّل والثالث، 70 للأوّل و60 للثالث، وجدول هذا التمرين نفسه مجموعه 60 كما في ورقة الامتحان.
في سلّم التصحيح: «يمكن ايجاد العدد العقدي $s$ باستعمال الرسم وكتابة العلاقات المناسبة»، أي يجوز أن يُقرأ من الشكل أنّ $\vec{A S} = \vec{A D} + \vec{A C}$ ، ومنه $s - a = (d - a) + (c - a)$ .