المسألة الثانية من امتحان 2026

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. 1. ادرس تغيّرات التّابع، ونظّم جدولاً بها.(50 درجةً)

   النهاية الأولىالدرجة: 5

   عند $+\mathrm{\infty }$ يسعى $e^{-x}$ إلى $0$ ويسعى $x-2$ إلى $+\mathrm{\infty }$، فلا عدم تعيين:

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$$

   النهاية الثانيةالدرجة: 5+5

   عند $-\mathrm{\infty }$ يسعى $e^{-x}$ إلى $+\mathrm{\infty }$ ويسعى $x-2$ إلى $-\mathrm{\infty }$، فالصيغة غير معيّنة. نُخرج $e^{-x}$ عاملاً مشتركاً:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f(x)=e^{-x}(1+x{e}^x)-2}\\ {\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }}\end{array}$$

   لأنّ ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}x{e}^x=0$، فما في القوس يسعى إلى $1$، و$e^{-x}$ يسعى إلى $+\mathrm{\infty }$.

   المشتقالدرجة: 5+5

   التابع $f$ اشتقاقيّ على $\mathbb{R}$، ومشتقّ $e^{-x}$ هو $-e^{-x}$:

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}+1$$

   انعدام المشتقالدرجة: 5+5

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=0⟺e^{-x}=1}\\ {\displaystyle ⟺x=0}\end{array}$$

   الصورةالدرجة: 5

   $$f(0)=e^0+0-2=-1$$

   الجوابالدرجة: 2+3+2+3

   جدول التغيّرات. إذا كان $x<0$ كان $-x>0$ و$e^{-x}>1$، فالمشتق سالب على $]-\mathrm{\infty },0[$. وإذا كان $x>0$ كان $e^{-x}<1$، فالمشتق موجب على $]0,+\mathrm{\infty }[$. فالتابع $f$ متناقصٌ تماماً ثمّ متزايدٌ تماماً، وقيمته الصغرى $-1$ عند $x=0$.

   $x$	$-\mathrm{\infty }$		$0$		$+\mathrm{\infty }$
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)$		$-$	$0$	$+$
   $f(x)$	$+\mathrm{\infty }$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\mathrm{\infty }$

   في سلّم التصحيح: «توافق الإشارة مع الأسهم»، أي السهم نازلٌ حيث المشتق سالب، وصاعدٌ حيث المشتق موجب.

2. 2. أثبت أنّ المستقيم: $\mathrm{\Delta }:y=x-2$ مقارب مائل لـ $C$ عند الـ $+\mathrm{\infty }$ وادرس الوضع النّسبيّ لـ $C$ مع $\mathrm{\Delta }$.(20 درجةً)

   الفرقالدرجة: 5

   $C$ هو الخطّ البيانيّ للتابع $f$. نحسب الفرق بين التابع ومعادلة المستقيم:

   $$f(x)-(x-2)=e^{-x}$$

   النهايةالدرجة: 5

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-(x-2))}\\ {\displaystyle =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x}=0}\end{array}$$

   الاستنتاجالدرجة: 5

   فالمستقيم $\mathrm{\Delta }:y=x-2$ مقاربٌ مائلٌ لـ $C$ عند $+\mathrm{\infty }$.

   الجوابالدرجة: 5

   الوضع النسبيّ: إشارة الفرق هي إشارة $e^{-x}$، وهو موجبٌ تماماً أيّاً كان $x$:

   $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}:f(x)-(x-2)>0$$

   فالخطّ $C$ يقع فوق $\mathrm{\Delta }$ على $\mathbb{R}$ كلّها، ولا يلتقيان، لأنّ الفرق لا ينعدم.

3. 3. ارسم كلّ مقارب وجدته وارسم $C$.(10 درجات)

   الجوابالدرجة: 5+5

   المقارب الذي وجدناه هو $\mathrm{\Delta }$، نرسمه من نقطتين منه، مثل $(0,-2)$ و$(2,0)$. ثمّ نرسم $C$ فوقه مستعينين بجدول التغيّرات: قيمته الصغرى $-1$ عند $A(0,-1)$، ويقطع محور الفواصل مرّتين، قرب $-\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->1<!--\; -->5}$ وقرب $\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->4}$، ويقترب من $\mathrm{\Delta }$ كلّما كبر $x$.

   في سلّم التصحيح: خمس درجاتٍ للخطّ $C$، وخمسٌ للمقارب المائل.

4. 4. احسب مساحة السّطح المحصور بين $C$ و $\mathrm{\Delta }$ والمستقيمين $x=\ln 2$ و $x=0$.(15 درجةً)

   العلاقةالدرجة: 5

   وجدنا في الطلب الثاني أنّ $C$ فوق $\mathrm{\Delta }$ على $\mathbb{R}$ كلّها، و$\ln 2>0$. فالمساحة تكامل الفرق $f(x)-(x-2)=e^{-x}$ من $0$ إلى $\ln 2$:

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathcal{A}}& {\displaystyle ={\int }_0^{\ln 2}(f(x)-(x-2))dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\ln 2}{e}^{-x}dx}\end{array}$$

   في سلّم التصحيح: «إذا كتب الطالب ${\int }_0^{\ln 2}f(x)dx$»، والجملة لا تكتمل.

   التعويضالدرجة: 5

   التابع $x\mapsto -e^{-x}$ تابعٌ أصليّ لـ $x\mapsto e^{-x}$:

   $$\mathcal{A}={[-e^{-x}]}_0^{\ln 2}=-e^{-\ln 2}+e^0$$

   و$e^{-\ln 2}=\frac{1}{e^{\ln 2}}=\frac{1}{2}$.

   الجوابالدرجة: 5

   $$\mathcal{A}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$$

5. 5. استنتج عدد حلول المعادلة $e^{-2x}+\frac{x}{e^x}-\frac{3}{2}{e}^{-x}=0$.(5 درجات)

   ضرب الطرفينالدرجة: 3

   نضرب طرفَي المعادلة بـ $e^x$، وهو موجبٌ لا ينعدم، فنحصل على معادلةٍ مكافئة لها:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle e^{-2x}{e}^x+x-\frac{3}{2}{e}^{-x}{e}^x=0}\\ {\displaystyle e^{-x}+x-\frac{3}{2}=0}\end{array}$$

   العودة إلى التابعالدرجة: 2

   نكتب $-\frac{3}{2}=-2+\frac{1}{2}$، فتظهر عبارة $f$:

   $$\begin{array}{c}{\displaystyle e^{-x}+x-2=-\frac{1}{2}}\\ {\displaystyle ⟺f(x)=-\frac{1}{2}}\end{array}$$

   الجواب

   من جدول التغيّرات: على $]-\mathrm{\infty },0[$ التابع $f$ مستمرٌّ ومتناقصٌ تماماً وصورة المجال $]-1,+\mathrm{\infty }[$، وعلى $[0,+\mathrm{\infty }[$ مستمرٌّ ومتزايدٌ تماماً وصورة المجال $[-1,+\mathrm{\infty }[$. والعدد $-\frac{1}{2}$ ينتمي إلى الصورتين، فللمعادلة $f(x)=-\frac{1}{2}$ حلٌّ وحيد في كلٍّ من المجالين. فللمعادلة المعطاة حلّان.

   وهما فاصلتا نقطتَي تقاطع $C$ مع المستقيم $y=-\frac{1}{2}$، نحو $-\mathrm{0<!--\; -->.<!--\; -->8<!--\; -->6}$ و$\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->2<!--\; -->0}$، ولا يطلبهما السؤال.