الدرس 4: متتاليات متجاورة

التمرين الأوّل من امتحان 2022، الدورة الثانية

70 درجةً في سلّم التصحيح الرسميّ

من امتحان شهادة الدراسة الثانويّة العامّة، دورة عام 2022، الدورة الثانية، الفرع العلميّ

لتكن المتتاليتان $(u_{n})_{n \geq 1}$ و $(v_{n})_{n \geq 1}$ : $u_{n} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \dots + \frac{1}{5^{n}}$ و $v_{n} = u_{n} + \frac{1}{2^{n}}$

المطلوب:

1.أثبت أنّ $(u_{n})_{n \geq 1}$ متتالية متزايدة و $(v_{n})_{n \geq 1}$ متتالية متناقصة.
2.استنتج أنّ المتتاليتين $(u_{n})_{n \geq 1}$ و $(v_{n})_{n \geq 1}$ متجاورتان.
3.أثبت أنّ $u_{n} = \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^{n}})$ ، ثمّ احسب $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ واستنتج $\lim_{n \to + \infty} v_{n}$ .

المجموع: في $u_{n}$ الحدّ الأوّل $\frac{1}{5}$ لا $1$ ، وعدد الحدود $n$ . ومن أخذ الحدّ الأوّل $1$ وجد $\frac{5}{4} (1 - \frac{1}{5^{n}})$ ، وهو عند $n = 1$ يساوي $1$ ، مع أنّ $u_{1} = \frac{1}{5}$ .

الاطّراد: في الطلب الأوّل لا يكفي أن تلاحظ أنّ $\frac{1}{2^{n}}$ يتناقص، لأنّ $u_{n}$ يتزايد في الوقت نفسه، ومجموع متتاليةٍ متزايدةٍ ومتتاليةٍ متناقصةٍ قد يصعد وقد ينزل. الذي يحسم الأمر هو إشارة الفرق $v_{n + 1} - v_{n}$ .

الحلّ خطوةً خطوة

حاول أن تحلّ بنفسك أوّلاً، ثمّ افتح الخطوات واحدةً بعد الأخرى وقارن. وبجانب كلّ خطوة درجتها في سلّم التصحيح الرسميّ، فترى أين تُكسب الدرجات وأين تضيع.

1. أثبت أنّ $(u_{n})_{n \geq 1}$ متتالية متزايدة و $(v_{n})_{n \geq 1}$ متتالية متناقصة.(32 درجةً)
فرق حدّينالدرجة: 5+3
المجموع $u_{n + 1}$ هو المجموع $u_{n}$ مضافاً إليه حدٌّ واحدٌ جديد، هو $\frac{1}{5^{n + 1}}$ :
$\begin{array}{c} u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{5^{n + 1}} \\ u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{5^{n + 1}} \end{array}$
الإشارةالدرجة: 5
العدد $5^{n + 1}$ موجبٌ تماماً، فمقلوبه موجبٌ تماماً:
$u_{n + 1} - u_{n} > 0$
الاطّرادالدرجة: 2
الفرق بين كلّ حدٍّ والذي قبله موجبٌ تماماً أيّاً كان $n \geq 1$ ، فالمتتالية $(u_{n})_{n \geq 1}$ متزايدةٌ تماماً.
الفرق الثانيالدرجة: 5+5
نكتب $v_{n + 1} - v_{n}$ من تعريف $v_{n}$ ، ثمّ نعوّض $u_{n + 1} - u_{n}$ بما وجدناه، و $\frac{1}{2^{n}} = \frac{2}{2^{n + 1}}$ :
$\begin{array}{c} v_{n + 1} - v_{n} \\ = (u_{n + 1} - u_{n}) + \frac{1}{2^{n + 1}} - \frac{1}{2^{n}} \\ = \frac{1}{5^{n + 1}} + \frac{1}{2^{n + 1}} - \frac{2}{2^{n + 1}} \\ = \frac{1}{5^{n + 1}} - \frac{1}{2^{n + 1}} \end{array}$
إشارة الفرقالدرجة: 5
$5^{n + 1} > 2^{n + 1} > 0$ ، وللكسرين البسط نفسه، فالذي مقامه أكبر أصغر: $\frac{1}{5^{n + 1}} < \frac{1}{2^{n + 1}}$ ، ومنه:
$v_{n + 1} - v_{n} < 0$
الجوابالدرجة: 2
الفرق بين كلّ حدٍّ والذي قبله سالبٌ تماماً أيّاً كان $n \geq 1$ ، فالمتتالية $(v_{n})_{n \geq 1}$ متناقصةٌ تماماً، والمتتالية $(u_{n})_{n \geq 1}$ متزايدةٌ تماماً.
2. استنتج أنّ المتتاليتين $(u_{n})_{n \geq 1}$ و $(v_{n})_{n \geq 1}$ متجاورتان.(10 درجات)
الفرق والنهايةالدرجة: 3+5
من تعريف $v_{n}$ يكون $v_{n} - u_{n} = \frac{1}{2^{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ ، والأساس $\frac{1}{2}$ يحقّق $- 1 < \frac{1}{2} < 1$ ، فـ ${(\frac{1}{2})}^{n}$ يسعى إلى $0$ :
$\lim_{n \to + \infty} (v_{n} - u_{n}) = 0$
في سلّم التصحيح: يطبع السلّم سطر «حساب الفرق + النهاية» بدرجتيه 3+5 في خانة الطلب الأوّل، فيصير مجموع الطلب الأوّل في السلّم 40 ومجموع هذا الطلب 2. وضعناه هنا لأنّ هذا الطلب يحتاج النهاية، ومجموع التمرين 70 في الحالتين.
الجوابالدرجة: 2
اجتمعت الشروط الثلاثة في تعريف المتتاليتين المتجاورتين: $(u_{n})_{n \geq 1}$ متزايدة، و $(v_{n})_{n \geq 1}$ متناقصة، وهذا من الطلب الأوّل، والفرق $v_{n} - u_{n}$ يسعى إلى الصفر. فالمتتاليتان متجاورتان.
3. أثبت أنّ $u_{n} = \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^{n}})$ ، ثمّ احسب $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ واستنتج $\lim_{n \to + \infty} v_{n}$ .(28 درجةً)
قانون المجموعالدرجة: 5+5
حدود $u_{n}$ حدودٌ متتاليةٌ من متتاليةٍ هندسيّةٍ حدّها الأوّل $a = \frac{1}{5}$ وأساسها $q = \frac{1}{5}$ ، فكلّ حدٍّ خُمسُ الذي قبله، وعددها $n$ لأنّ الأسس من $1$ إلى $n$ . ومجموع $n$ حدّاً متتالياً أوّلها $a$ من متتاليةٍ هندسيّةٍ أساسها $q \neq 1$ :
$S = a \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$
التعويضالدرجة: 5
مع $a = q = \frac{1}{5}$ و $1 - q = \frac{4}{5}$ :
$\begin{array}{c} u_{n} = \frac{1}{5} \times \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{n}}{\frac{4}{5}} \\ = \frac{1}{5} \times \frac{5}{4} (1 - \frac{1}{5^{n}}) \\ u_{n} = \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^{n}}) \end{array}$
تحقّق: عند $n = 1$ يكون $\frac{1}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5} = u_{1}$ .
نهاية المجموعالدرجة: 8
$\frac{1}{5^{n}} = {(\frac{1}{5})}^{n}$ ، والأساس يحقّق $- 1 < \frac{1}{5} < 1$ ، فـ ${(\frac{1}{5})}^{n}$ يسعى إلى $0$ :
$\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \frac{1}{4} (1 - 0) = \frac{1}{4}$
الجوابالدرجة: 5
المتتاليتان متجاورتان من الطلب الثاني، فلهما النهاية نفسها بالمبرهنة 9 من درس «متتاليات متجاورة». وبالحساب المباشر أيضاً: $v_{n} = u_{n} + {(\frac{1}{2})}^{n}$ ، ونهاية الحدّ الثاني $0$ :
$\lim_{n \to + \infty} v_{n} = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}$