مبرهنات تخصّ النهاياتالمتتاليات

متى تسمح مبرهنة 2 بنقل نهاية التابع إلى المتتالية؟

• إذا كانت المتتالية متقاربة
• إذا كان $f$ معرّفاً على $\mathbb{R}$ كلّه
• إذا كان $u_n=f(n)$ بدءاً من دليلٍ معيّن، و$f$ معرّفاً على مجالٍ من النمط $]b,+\mathrm{\infty }[$

التابع $f(x)=\sin (\pi x)$ ليست له نهايةٌ عند $+\mathrm{\infty }$، والمتتالية $u_n=f(n)$ تساوي الصفر عند كلّ $n$. ماذا يبيّن هذا المثال؟

• أنّ مبرهنة 2 خاطئة
• أنّ $\sin$ ليس تابعاً مألوفاً
• أنّ مبرهنة 2 لا تُقرأ بالعكس

لحساب $\lim \sqrt{{\displaystyle \frac{4n-3}{n+1}}}$، عند أيّ نقطةٍ تُدرس نهاية تابع الجذر؟

• عند $+\mathrm{\infty }$
• عند $4$
• عند $0$

مبرهنة 4 تحتاج متتاليتين تحيطان بـ $(u_n)$. ماذا يُشترط في نهايتيهما؟

• أن تكون كلٌّ منهما موجودة
• أن تكونا عدداً حقيقيّاً واحداً $\mathrm{\ell }$
• أن تكونا موجبتين

في أيّ حالةٍ من الحالات الآتية تعجز قواعد الحساب على النهايات، فتلزم المقارنة؟

• $u_n={\displaystyle \frac{\cos (2n)}{\sqrt{n}}}$
• $u_n={\displaystyle \frac{2n+3}{3n-1}}$
• $u_n=n+{\displaystyle \frac{1}{n}}$

لماذا لا تصلح المتراجحة $u_n-\mathrm{\ell }\le e_n$ في مبرهنة 5؟

• لأنّها تحصر المتتالية من الأعلى وتتركها حرّةً من الأسفل
• لأنّ $e_n$ قد يكون سالباً
• لأنّ المبرهنة تشترط التساوي لا المتراجحة

المتتاليتان تحقّقان $u_n\le v_n$ بدءاً من دليل، و$\lim v_n=+\mathrm{\infty }$. ماذا نستنتج؟

• لا شيء
• أنّ $\lim u_n=+\mathrm{\infty }$
• أنّ $(u_n)$ محدودة من الأعلى

في المتراجحة $n\ge 2\sqrt{n}$ التي يستعملها الكتاب، من أيّ دليلٍ تصير صحيحة؟

• من $n=4$
• من $n=1$
• من $n=2$

ما معنى أن تعطي القواعد الصيغة ${\displaystyle \frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}}$؟

• أنّ النهاية تساوي واحداً
• أنّ القواعد وحدها لا تكفي، ويلزم تحويل التعبير
• أنّ النهاية غير موجودة