الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: مبرهنات تخصّ النهايات

نهاية متتالية . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

بسيطة

1. متى تسمح مبرهنة 2 بنقل نهاية التابع إلى المتتالية؟
- أ)إذا كانت المتتالية متقاربة
- ب)إذا كان $f$ معرّفاً على $R$ كلّه
- ج)إذا كان $u_{n} = f (n)$ بدءاً من دليلٍ معيّن، و $f$ معرّفاً على مجالٍ من النمط $] b, + \infty [$
2. التابع $f (x) = \sin (π x)$ ليست له نهايةٌ عند $+ \infty$ ، والمتتالية $u_{n} = f (n)$ تساوي الصفر عند كلّ $n$ . ماذا يبيّن هذا المثال؟
- أ)أنّ مبرهنة 2 خاطئة
- ب)أنّ $\sin$ ليس تابعاً مألوفاً
- ج)أنّ مبرهنة 2 لا تُقرأ بالعكس
3. لحساب $\lim \sqrt{\frac{4 n - 3}{n + 1}}$ ، عند أيّ نقطةٍ تُدرس نهاية تابع الجذر؟
- أ)عند $+ \infty$
- ب)عند $4$
- ج)عند $0$
4. مبرهنة 4 تحتاج متتاليتين تحيطان بـ $(u_{n})$ . ماذا يُشترط في نهايتيهما؟
- أ)أن تكون كلٌّ منهما موجودة
- ب)أن تكونا عدداً حقيقيّاً واحداً $ℓ$
- ج)أن تكونا موجبتين
5. في أيّ حالةٍ من الحالات الآتية تعجز قواعد الحساب على النهايات، فتلزم المقارنة؟
- أ) $u_{n} = \frac{\cos (2 n)}{\sqrt{n}}$
- ب) $u_{n} = \frac{2 n + 3}{3 n - 1}$
- ج) $u_{n} = n + \frac{1}{n}$
6. لماذا لا تصلح المتراجحة $u_{n} - ℓ \leq e_{n}$ في مبرهنة 5؟
- أ)لأنّها تحصر المتتالية من الأعلى وتتركها حرّةً من الأسفل
- ب)لأنّ $e_{n}$ قد يكون سالباً
- ج)لأنّ المبرهنة تشترط التساوي لا المتراجحة
7. المتتاليتان تحقّقان $u_{n} \leq v_{n}$ بدءاً من دليل، و $\lim v_{n} = + \infty$ . ماذا نستنتج؟
- أ)لا شيء
- ب)أنّ $\lim u_{n} = + \infty$
- ج)أنّ $(u_{n})$ محدودة من الأعلى
8. في المتراجحة $n \geq 2 \sqrt{n}$ التي يستعملها الكتاب، من أيّ دليلٍ تصير صحيحة؟
- أ)من $n = 4$
- ب)من $n = 1$
- ج)من $n = 2$
9. ما معنى أن تعطي القواعد الصيغة $\frac{+ \infty}{+ \infty}$ ؟
- أ)أنّ النهاية تساوي واحداً
- ب)أنّ القواعد وحدها لا تكفي، ويلزم تحويل التعبير
- ج)أنّ النهاية غير موجودة
10. عند دراسة $u_{n} = n - \sqrt{n}$ ، ماذا يحدث لو أخرجتَ $\sqrt{n}$ بدل $n$ ؟
- أ)تحصل على حالة عدم تعيين من الشكل $\infty \times 0$
- ب)تحصل على صفر
- ج)تحصل على جداءٍ لا يستقرّ عامله الثاني عند عددٍ غير معدوم
11. المتتالية $u_{n + 1} = f (u_{n})$ متقاربة من $ℓ$ الحقيقيّ، و $f$ مستمرٌّ عند $ℓ$ . أيّ خطوةٍ تسمح بتمرير النهاية إلى داخل $f$ ؟
- أ)قاعدة نهاية الجداء
- ب)مبرهنة 3، لأنّ $f (u_{n})$ تركيبُ تابعٍ مع متتالية
- ج)مبرهنة 2، لأنّ الحدّ العامّ مكتوبٌ بتابع
12. حلّ المعادلة $f (x) = x$ وجدتَ له قيمتين موجبتين. ماذا يعني ذلك للمتتالية $u_{n + 1} = f (u_{n})$ ؟
- أ)أنّ لها نهايتين
- ب)أنّها غير متقاربة
- ج)أنّ لديك مرشّحَين، ويلزمك دليلٌ إضافيّ لتقرّر

سلّم التصحيح

1. ج نعم، وهذان الشرطان مكتوبان في نصّ المبرهنة. لاحظ «بدءاً من دليل»: لا يلزم أن يكون التساوي صحيحاً عند كلّ $n$ .
2. ج نعم. المتتالية لا ترى من التابع إلا النقاط الصحيحة، فقد تستقرّ هي بينما يتأرجح هو.
3. ب نعم. الداخل يسعى إلى $4$ ، فمبرهنة 3 تطلب $\lim_{x \to 4} \sqrt{x} = 2$ . النقطة هي نهاية الداخل.
4. ب نعم، ونصّ المبرهنة يقول «يوجد عددٌ حقيقيٌّ $ℓ$ » يحقّق النهايتين معاً. عددٌ واحد، وحقيقيّ.
5. أ نعم. $\cos (2 n)$ ليست له نهاية، فقاعدة الجداء لا تنطبق أصلاً. تصلح هنا مبرهنة 5 عبر $∣ u_{n} ∣ \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ ، وكذلك مبرهنة 4 بالحصر بين $- \frac{1}{\sqrt{n}}$ و $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ، وهذا ما يطلبه الكتاب في تمرين الصفحة 109.
6. أ نعم. من دون القيمة المطلقة قد يهوي $u_{n}$ إلى $- \infty$ والمتراجحة تبقى صحيحة. القيمة المطلقة هي التي تُغلق الجهتين.
7. أ نعم. مبرهنة 6 تعمل في اتّجاهين محدّدين: الصغرى إلى $+ \infty$ ترفع الكبرى، والكبرى إلى $- \infty$ تخفض الصغرى. حالتك ليست إحداهما.
8. أ نعم. عند $n \geq 4$ يكون $\sqrt{n} \geq 2$ ، والضرب بـ $\sqrt{n}$ الموجب يعطي $n \geq 2 \sqrt{n}$ . وهذا بالضبط ما تسمح به عبارة «بدءاً من دليل».
9. ب نعم. الكتاب يقول صراحةً إنّه ليس ثمّة قواعد عامّة، بل حيلتان: الانتقال إلى التابع، وإخراج الحدّ المسيطر.
10. ج نعم. علامة الخطوة الناجحة أن يسعى ما في القوس إلى عددٍ غير معدوم. مع $n$ يصير القوس $1 - \frac{1}{\sqrt{n}}$ ونهايته واحد.
11. ب نعم، ومع الاستمرار عند $ℓ$ تصير $\lim f (u_{n}) = f (ℓ)$ . وبما أنّ $(u_{n + 1})$ هي $(u_{n})$ بلا حدّها الأوّل، ينتج $f (ℓ) = ℓ$ .
12. ج نعم. الإطار يقول إنّ $ℓ$ حلٌّ للمعادلة، لا إنّ كلّ حلٍّ نهاية. وهو يفترض التقارب أصلاً ولا يبرهنه.