الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

الجداء السلّمي في المستوي، تذكرة

أربع عبارات لعددٍ واحد، ومتى تستعمل كلّ واحدةٍ منها

الجداء السلّمي في الفراغ . الوحدة 2 . الدرس 1

بسيطة

هذا الدرس مكتوبٌ في الكتاب على أنّه تذكرة، لكنّه مفتاح الوحدة كلّها: الدروس الثلاثة الآتية تنقل ما فيه من المستوي إلى الفراغ حرفاً بحرف. والكتاب يفتحه بأربع صيغ متتالية بلا مثالٍ واحد، ثمّ يستعمل آخرها بعد صفحتين. سنقلب الترتيب: مع كلّ صيغةٍ متى تُستعمل، ثمّ نرى العدد نفسه محسوباً بطريقتين.

أربع عبارات لعددٍ واحد

الجداء السّلّمي لشعاعين عددٌ حقيقيّ، لا شعاع. والكتاب يعطي له أربع صيغ، وكلّها تعطي العدد نفسه. اختلافها في المعطيات التي تملكها: أحياناً تعرف الأطوال، وأحياناً المركّبات، وأحياناً الزاوية وحدها.

العبارات المختلفة للجداء السّلّمي

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} ({∥ \vec{u} + \vec{v} ∥}^{2} - {∥ \vec{u} ∥}^{2} - {∥ \vec{v} ∥}^{2})$ الصيغة ①، ولا تشترط شيئاً: تصلح لأيّ شعاعين في المستوي، حتّى المعدوم. تُستعمل حين تعرف الأطوال وحدها.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = ∥ \vec{u} ∥ \cdot ∥ \vec{v} ∥ \cos θ$ الصيغة ②، وتشترط أن يكون الشعاعان غير معدومين، و $θ$ قياسٌ للزاوية الهندسيّة بينهما لا للزاوية الموجّهة.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'}$ الصيغة ③، وتشترط معلماً متجانساً، و $(x, y)$ مركّبات $\vec{u}$ و $(x^{'}, y^{'})$ مركّبات $\vec{v}$ بالترتيب. هذه أكثرها استعمالاً في الامتحان.
$\vec{C D} \cdot \vec{A B} = \vec{C^{'} D^{'}} \cdot \vec{A B}$ الصيغة ④، حيث $\vec{C^{'} D^{'}}$ هو المسقط القائم للشعاع $\vec{C D}$ على المستقيم $(A B)$ . تُستعمل حين لا تعرف أطوالاً ولا مركّبات، بل أوضاعاً هندسيّة.

الكتاب، الصفحة 39

تذكّر: الناتج عددٌ حقيقيّ. الكتاب يقولها في الصيغة ① صراحةً: «هو العدد الحقيقيّ». من كتب سهماً فوق $\vec{u} \cdot \vec{v}$ فقد خلط بين عددٍ وشعاع.

انتبه: لكلّ صيغةٍ شرطها، والامتحان يمتحن الشرط لا الصيغة. الصيغة ② تسقط إذا كان أحد الشعاعين معدوماً، لأنّه لا زاوية عندئذٍ. والصيغة ③ تسقط في معلمٍ غير متجانس، مع أنّ الأعداد تُعوَّض فيها كما هي ولا شيء ينبّهك.

في معلمٍ متجانس، $\vec{u} (2, - 1)$ و $\vec{v} (- \frac{1}{2}, 3)$ . ما $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ؟

كيف أبدأ؟ المعطى مركّبات، فالصيغة ③ هي الأداة. اضرب الأولى بالأولى والثانية بالثانية، ثمّ اجمع. انتبه إلى الإشارات.

أ) $- 4$
ب) $2$
ج) $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 4 \vec{i}$

أ. نعم: $2 \times (- \frac{1}{2}) + (- 1) \times 3 = - 1 - 3 = - 4$ . والناتج سالب، وهذا وحده يقول إنّ الزاوية بين الشعاعين منفرجة.

التعامد يُقرأ من عددٍ واحد

الفائدة الأولى للجداء السّلّمي أنّه يحوّل سؤالاً هندسيّاً، هل المستقيمان متعامدان، إلى سؤال حسابيّ: هل هذا العدد معدوم؟ ومن الصيغة ③ يصير الاختبار سطراً واحداً بالمركّبات.

مبرهنة وتعريف 1

$\vec{u} ⊥ \vec{v} ⟺ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 ⟺ x x^{'} + y y^{'} = 0$ القول إنّ الشعاعين متعامدان يعني أنّ جداءهما السّلّمي معدوم، والمكافئ بالمركّبات صحيحٌ في معلمٍ متجانس.
$\vec{u} \cdot \vec{u} = {∥ \vec{u} ∥}^{2} \vec{A B} \cdot \vec{A B} = A B^{2}$ لأنّ الزاوية بين الشعاع وذاته معدومة، فيصير $\cos θ = 1$ في الصيغة ②.

الكتاب، الصفحة 39

تذكّر: انتبه إلى ما لا يشترطه هذا الإطار: لا يطلب أن يكون الشعاعان غير معدومين، بخلاف الصيغة ②. فالشعاع المعدوم متعامدٌ مع كلّ شعاع بحسب هذا التعريف.

انتبه: $\vec{A B} \cdot \vec{A B}$ يساوي $A B^{2}$ لا $A B$ . هو مربّع الطول، لا الطول. ومن خلط بينهما خسر كلّ مساواةٍ فيها مربّعات، وهي أكثر ما يُطلب في هذا الدرس.

في معلمٍ متجانس، $\vec{u} (3, - 2)$ و $\vec{v} (4, 6)$ . هل الشعاعان متعامدان؟

كيف أبدأ؟ لا تنظر إلى الشكل ولا إلى الإشارات. احسب $x x^{'} + y y^{'}$ وقارن الناتج بالصفر، فهذا هو الاختبار كلّه.

أ)لا، لأنّ مركّباتهما مختلفة الإشارات
ب)نعم، لأنّ $3 \times 4 + (- 2) \times 6 = 0$
ج)لا يمكن الحكم قبل حساب الطولين

ب. نعم: $12 - 12 = 0$ ، فالشعاعان متعامدان. ولاحظ أنّك لم تحتج طولاً ولا زاوية، بل سطراً واحداً.

بُعد نقطة عن مستقيم

الكتاب يضع الصيغة الآتية بلا تمهيد، ثمّ يبرهنها في الصفحة التالية. وهي من أكثر صيغ هذا الدرس حضوراً في الامتحان، لأنّها تختصر إنشاءً هندسيّاً كاملاً في سطر.

مبرهنة 2

$d (A, d) = \frac{∣ a α + b β + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ في معلمٍ متجانس، بُعد النقطة $A (α, β)$ عن المستقيم $d$ الذي معادلته $a x + b y + c = 0$ .

الكتاب، الصفحة 39

انتبه: ثلاثة أخطاء تتكرّر هنا. الأوّل: حذف القيمة المطلقة، فيخرج بُعدٌ سالب كلّما وقعت النقطة في الجهة الأخرى من المستقيم. الثاني: كتابة المقام $a^{2} + b^{2}$ بلا جذر، والمقام هو طول الشعاع الناظم لا مربّعه. الثالث: تطبيق الصيغة على معادلةٍ بالشكل $y = m x + p$ مباشرةً، والصواب أن تُكتب أوّلاً $m x - y + p = 0$ ، فيكون $a = m$ و $b = - 1$ و $c = p$ .

برهان مبرهنة 2، كما في الكتاب صفحة 40. يستعمل البرهان الصيغة ③ مرّةً واحدة، وكلّ ما عداه جبرٌ بسيط، وهو يشرح من أين جاء المقام ولماذا هناك قيمةٌ مطلقة.

d (A, d) = \frac{∣ a α + b β + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

1. ① الشعاع الناظم الشعاع $\vec{n} (a, b)$ ناظمٌ للمستقيم $d$ ، أي عموديٌّ عليه، وهو غير معدوم لأنّ $a$ و $b$ لا ينعدمان معاً في معادلة مستقيم. والكتاب يستعمل هذه التسمية هنا من دون أن يكون قد عرّفها في هذا الدرس؛ ستعود إليك كاملةً في درس معادلة المستوي.
2. ② الشعاع الذي نقيسه لتكن $A^{'} (α^{'}, β^{'})$ المسقط القائم للنقطة $A$ على $d$ . البُعد المطلوب هو الطول $A A^{'}$ ، والشعاع $\vec{A A^{'}}$ مرتبطٌ خطّياً مع $\vec{n}$ لأنّ كليهما عموديّ على $d$ .
$∣ \vec{n} \cdot \vec{A A^{'}} ∣ = ∥ \vec{n} ∥ \times A A^{'} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \times A A^{'}$
3. ③ الجداء بالمركّبات مركّبات $\vec{A A^{'}}$ هي $(α^{'} - α, β^{'} - β)$ ، فنحسب الجداء بالصيغة ③.
$\vec{n} \cdot \vec{A A^{'}} = a (α^{'} - α) + b (β^{'} - β) = a α^{'} + b β^{'} - a α - b β$
4. ④ الحدّ الذي ينعدم النقطة $A^{'}$ تنتمي إلى $d$ ، فإحداثيّاتها تحقّق معادلته: $a α^{'} + b β^{'} + c = 0$ . نُقحم $c$ ونطرحه فيظهر هذا الحدّ.
$\vec{n} \cdot \vec{A A^{'}} = (a α^{'} + b β^{'} + c) - (a α + b β + c) = - (a α + b β + c)$
5. ⑤ النتيجة نأخذ القيمة المطلقة للطرفين ونعوّض في الخطوة ②، ثمّ نقسم على $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ وهو عددٌ موجبٌ تماماً.
$A A^{'} = \frac{∣ a α + b β + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

القيمة المطلقة ليست زينة: الجداء $\vec{n} \cdot \vec{A A^{'}}$ يخرج سالباً أو موجباً بحسب جهة النقطة عن المستقيم، والطول لا يكون إلّا موجباً.

A A^{'} = \frac{∣ a α + b β + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

ما بُعد النقطة $A (- 2, 4)$ عن المستقيم $d$ الذي معادلته $2 x + y - 5 = 0$ ؟

كيف أبدأ؟ المعادلة جاهزة بالشكل $a x + b y + c = 0$ ، فاقرأ $a$ و $b$ و $c$ مباشرةً. عوّض إحداثيّات النقطة في البسط، وخذ القيمة المطلقة قبل القسمة.

أ) $- \sqrt{5}$
ب) $1$
ج) $\sqrt{5}$

ج. نعم: البسط $∣ 2 (- 2) + 4 - 5 ∣ = ∣ - 5 ∣ = 5$ ، والمقام $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ، فالبُعد $\frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ .

ما يشبه ضرب الأعداد، وما لا يشبهه

الجداء السّلّمي يتصرّف كالضرب في أربع قواعد، ويخالفه في قاعدةٍ واحدة يكثر السقوط فيها. الكتاب يجمع الأربع في صفحة 40 تحت سؤال: كيف نُجري الحسابات باستعمال الجداء السّلّمي؟

قواعد الحساب

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ التبديل: الترتيب لا يغيّر الناتج.
$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ التوزيع على الجمع، وهو ما يجعل حلّ المسائل ممكناً بالتفكيك.
$(a \vec{u}) \cdot (b \vec{v}) = a b (\vec{u} \cdot \vec{v})$ الأعداد تخرج من الجداء، أيّاً كان $a$ و $b$ حقيقيّين.
$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$ التوزيع من الجهة الأخرى، وهو نتيجة التبديل مع التوزيع.

الكتاب، الصفحة 40

انتبه: القاعدة التي لا تنتقل: من $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$ لا يجوز الاختصار والقول $\vec{v} = \vec{w}$ . الكتاب يطبع «لا» بالأحمر في هذا الموضع. الصحيح أنّ $\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0$ ، أي أنّ $\vec{u}$ عموديٌّ على $\vec{v} - \vec{w}$ ، وهذا أضعف بكثير من التساوي.

تذكّر: إذا كان الشعاعان مرتبطين خطّياً ولهما الجهة نفسها كان $\vec{u} \cdot \vec{v} = ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥$ ، وإذا كانا متعاكسي الجهة كان $\vec{u} \cdot \vec{v} = - ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥$ . وفي الحالتين معاً $∣ \vec{u} \cdot \vec{v} ∣ = ∥ \vec{u} ∥ ∥ \vec{v} ∥$ .

علمت أنّ $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$ وأنّ $\vec{u}$ غير معدوم. ماذا تستنتج؟

كيف أبدأ؟ انقل كلّ شيءٍ إلى طرفٍ واحد واستعمل التوزيع. ثمّ اسأل: ماذا يعني أن ينعدم جداءٌ سلّمي؟

أ)أنّ $\vec{v} = \vec{w}$
ب)أنّ $\vec{u}$ عموديٌّ على $\vec{v} - \vec{w}$
ج)أنّ $\vec{v}$ و $\vec{w}$ لهما الطول نفسه

ب. نعم: بالتوزيع $\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0$ ، وانعدام الجداء السّلّمي هو التعامد. وقد يكون $\vec{v} = \vec{w}$ حالةً خاصّة، لكنّها ليست الوحيدة.

ثلاثة تطبيقات، ومثال الكتاب

يسرد الكتاب في صفحة 40 ثلاث نتائج كلاسيكيّة من دون برهان. احفظها كما هي، فهي تظهر في مسائل المثلّثات أكثر ممّا يظهر التعريف نفسه.

تطبيقات

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ علاقة الكاشي. الإشارة سالبة، وعند $A = 90^{\circ}$ ينعدم الحدّ الأخير فتعود إلى فيثاغورس.
$b^{2} + c^{2} = 2 m^{2} + \frac{a^{2}}{2}$ مبرهنة المتوسّط، حيث $m$ طول المتوسّط الخارج من $A$ إلى منتصف $[B C]$ .

الكتاب، الصفحة 40

والتطبيق الثالث يكتبه الكتاب كلاماً لا صيغة، فننقله كما هو: «في متوازي الأضلاع، مجموع مربّعات أطوال الأضلاع يساوي مجموع مربّعي طولي القطرين».

انتبه: في علاقة الكاشي الإشارة $- 2 b c \cos A$ لا $+$ . وانتبه إلى اختبارٍ لا ينفع: عند $A = 90^{\circ}$ ينعدم $\cos A$ ، فيسقط الحدّ الأخير بالإشارتين معاً ولا يكشف شيئاً. الاختبار الذي يكشف: خذ مثلّثاً متساوي الأضلاع، $A = 60^{\circ}$ و $a = b = c = 1$ . الصيغة الصحيحة تعطي $1 - 1 + 1 = 1$ ، والخاطئة تعطي $3$ .

ويبقى المثال الوحيد المحلول في الدرس، وهو في صفحة 41. اقرأه بانتباه: إنّه الموضع الوحيد الذي تُستعمل فيه الصيغة ④، وهي الصيغة التي مرّت في أوّل الدرس بلا مثال.

$A B C$ مثلّثٌ قائم في $A$ ، و $M$ منتصف $[B C]$ ، و $H$ موقع الارتفاع المرسوم من $A$ . ولتكن $K$ و $L$ المسقطين القائمين للنقطة $H$ على $[A B]$ و $[A C]$ بالترتيب. أثبت تعامد المستقيمين $(A M)$ و $(K L)$ . مسألةٌ بلا أعداد ولا معلم، كلّ ما فيها أوضاعٌ هندسيّة، ولذلك تُحلّ بالصيغة ④.

\vec{A M} \cdot \vec{K L} = 0

1. ① ترجم المطلوب تعامد مستقيمين يعني انعدام جداء شعاعين عليهما. فالمطلوب صار حساباً واحداً: أن نبرهن أنّ $\vec{A M} \cdot \vec{K L} = 0$ .
2. ② فكّك الشعاع المعلوم النقطة $M$ منتصف $[B C]$ ، فيُكتب $\vec{A M}$ بشعاعي الضلعين. وبالتوزيع يصير المطلوب حسابَ جداءين بدل واحد.
$\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$
3. ③ اسقط على الضلع الأوّل على المستقيم $(A B)$ ، المسقط القائم للشعاع $\vec{K L}$ هو $\vec{K A}$ ، لأنّ $K$ على $[A B]$ والمسقط القائم لـ $L$ هو $A$ . وهنا تعمل الصيغة ④.
$\vec{A B} \cdot \vec{K L} = \vec{A B} \cdot \vec{K A} = \vec{A B} \cdot \vec{H A}$
4. ④ اسقط على الضلع الثاني بالطريقة نفسها على $(A C)$ : المسقط القائم لـ $\vec{K L}$ هو $\vec{A L}$ ، ومنه ننتقل إلى $\vec{A H}$ .
$\vec{A C} \cdot \vec{K L} = \vec{A C} \cdot \vec{A L} = \vec{A C} \cdot \vec{A H}$
5. ⑤ اجمع، فيظهر الارتفاع نعوّض الخطوتين في التفكيك. لاحظ الإشارتين: الأولى انتهت إلى $\vec{H A}$ والثانية إلى $\vec{A H}$ ، وهما متعاكسان، فيظهر الفرق $\vec{A C} - \vec{A B}$ وهو $\vec{B C}$ .
$\vec{A M} \cdot \vec{K L} = \frac{1}{2} (\vec{A C} - \vec{A B}) \cdot \vec{A H} = \frac{1}{2} \vec{B C} \cdot \vec{A H} = 0$
6. ⑥ اقرأ الصفر الجداء الأخير معدوم لأنّ $(A H)$ ارتفاعٌ، أي عموديٌّ على $(B C)$ بالفرض. ومنه تعامد المستقيمين $(A M)$ و $(K L)$ .

الفكرة التي تُنقل إلى كلّ مسألة: حين لا تعرف أطوالاً ولا مركّبات، اسقط الشعاع المجهول على المستقيم الذي تعرفه. الصيغة ④ تبدّل شعاعاً بشعاعٍ آخر من دون أن يتغيّر الجداء.

\vec{C D} \cdot \vec{A B} = \vec{C^{'} D^{'}} \cdot \vec{A B}

انتبه: في الخطوة ③ لم نقل إنّ $\vec{K L} = \vec{K A}$ ، فهما شعاعان مختلفان. المتساوي هو جداؤهما مع $\vec{A B}$ وحده، لأنّ الثاني مسقط الأوّل على $(A B)$ .