التوابع الأصليّةالتحليل

لكي نثبت أنّ $F$ تابعٌ أصليّ للتابع $f$ على المجال $I$، ممّ نتحقّق؟

• من أنّ $f$ مستمرٌّ على $I$
• من أنّ $F(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ عند كلّ $x$ من $I$
• من أنّ $F$ اشتقاقيّ على $I$، وأنّ $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ عند كلّ $x$ من $I$

وجدنا تابعاً أصليّاً $F$ للتابع $f$ على مجال $I$. كم تابعاً أصليّاً للتابع $f$ على $I$ يوجد؟

• عددٌ غير منتهٍ منها، وتختلف عن $F$ بثابتٍ حقيقيّ لا أكثر
• واحدٌ فقط، وهو الذي وجدناه
• عددٌ غير منتهٍ منها، ويمكن أن يكون الفرق بين اثنين منها أيّ تابعٍ يُشاء

تابعٌ أصليّ للتابع $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ على المجال $]-\mathrm{\infty },0[$ هو:

• $\ln x$
• $\ln (-x)$
• $-\ln x$

ليكن $F$ تابعاً أصليّاً للتابع $f$ على المجال $I$، ولتكن $x_0$ من $I$ و $y_0$ من $\mathbb{R}$. كم تابعاً أصليّاً $G$ للتابع $f$ على $I$ يحقّق $G(x_0)=y_0$؟

• واحدٌ وحيد
• عائلةٌ كاملة، لأنّ الثابت يبقى حرّاً
• لا يوجد إلّا إذا صادف أنّ $y_0=F(x_0)$

التابع الأصليّ للتابع $f:x\mapsto 3x^2-x+1$ على $\mathbb{R}$ الذي ينعدم عند $x=1$ هو:

• $x^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x$
• $x^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$
• $x^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

لماذا يشترط التعريف والمبرهنتان أن تكون $I$ مجالاً، لا مجموعةً كيفما كانت؟

• لأنّ الاشتقاق لا يُعرَّف إلّا على مجال
• لأنّ برهان المبرهنة $1$ ② يستعمل أنّ تابعاً معدوم المشتقّ يكون ثابتاً، وهذا لا يصحّ إلّا على مجال
• لأنّ التوابع المستمرّة لا تُعرَّف إلّا على مجالات

علمنا أنّ للتابع $f$ تابعاً أصليّاً على المجال $I$. ماذا نستنتج عن استمرار $f$؟

• هو مستمرٌّ حتماً على $I$
• لا شيء: قد يكون مستمرّاً وقد لا يكون
• هو غير مستمرٍّ حتماً على $I$

التابع $f$ مستمرٌّ على المجال $I$. ما الذي تعطيه المبرهنة $2$ بالضبط؟

• صيغةً صريحة للتابع الأصليّ
• طريقةً لحساب التابع الأصليّ خطوةً خطوة
• ضمانَ الوجود وحده، بلا صيغةٍ وبلا طريقة

أيكون $F:x\mapsto x\cos x$ تابعاً أصليّاً للتابع $f:x\mapsto \cos x-x\sin x$ على $\mathbb{R}$؟

• نعم، لأنّ $F^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-x\sin x$
• لا، لأنّ $F^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x+x\sin x$
• لا، لأنّ $F^{\mathrm{\prime }}(x)=-x\sin x$