ورقة تمارين: التوابع الأصليّة

1. لكي نثبت أنّ $F$ تابعٌ أصليّ للتابع $f$ على المجال $I$، ممّ نتحقّق؟

• أ)من أنّ $f$ مستمرٌّ على $I$
• ب)من أنّ $F(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ عند كلّ $x$ من $I$
• ج)من أنّ $F$ اشتقاقيّ على $I$، وأنّ $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ عند كلّ $x$ من $I$

2. وجدنا تابعاً أصليّاً $F$ للتابع $f$ على مجال $I$. كم تابعاً أصليّاً للتابع $f$ على $I$ يوجد؟

• أ)عددٌ غير منتهٍ منها، وتختلف عن $F$ بثابتٍ حقيقيّ لا أكثر
• ب)واحدٌ فقط، وهو الذي وجدناه
• ج)عددٌ غير منتهٍ منها، ويمكن أن يكون الفرق بين اثنين منها أيّ تابعٍ يُشاء

3. تابعٌ أصليّ للتابع $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ على المجال $]-\mathrm{\infty },0[$ هو:

• أ)$\ln x$
• ب)$\ln (-x)$
• ج)$-\ln x$

4. ليكن $F$ تابعاً أصليّاً للتابع $f$ على المجال $I$، ولتكن $x_0$ من $I$ و $y_0$ من $\mathbb{R}$. كم تابعاً أصليّاً $G$ للتابع $f$ على $I$ يحقّق $G(x_0)=y_0$؟

• أ)واحدٌ وحيد
• ب)عائلةٌ كاملة، لأنّ الثابت يبقى حرّاً
• ج)لا يوجد إلّا إذا صادف أنّ $y_0=F(x_0)$

5. التابع الأصليّ للتابع $f:x\mapsto 3x^2-x+1$ على $\mathbb{R}$ الذي ينعدم عند $x=1$ هو:

• أ)$x^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x$
• ب)$x^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$
• ج)$x^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

6. لماذا يشترط التعريف والمبرهنتان أن تكون $I$ مجالاً، لا مجموعةً كيفما كانت؟

• أ)لأنّ الاشتقاق لا يُعرَّف إلّا على مجال
• ب)لأنّ برهان المبرهنة $1$ ② يستعمل أنّ تابعاً معدوم المشتقّ يكون ثابتاً، وهذا لا يصحّ إلّا على مجال
• ج)لأنّ التوابع المستمرّة لا تُعرَّف إلّا على مجالات

7. علمنا أنّ للتابع $f$ تابعاً أصليّاً على المجال $I$. ماذا نستنتج عن استمرار $f$؟

• أ)هو مستمرٌّ حتماً على $I$
• ب)لا شيء: قد يكون مستمرّاً وقد لا يكون
• ج)هو غير مستمرٍّ حتماً على $I$

8. التابع $f$ مستمرٌّ على المجال $I$. ما الذي تعطيه المبرهنة $2$ بالضبط؟

• أ)صيغةً صريحة للتابع الأصليّ
• ب)طريقةً لحساب التابع الأصليّ خطوةً خطوة
• ج)ضمانَ الوجود وحده، بلا صيغةٍ وبلا طريقة

9. أيكون $F:x\mapsto x\cos x$ تابعاً أصليّاً للتابع $f:x\mapsto \cos x-x\sin x$ على $\mathbb{R}$؟

• أ)نعم، لأنّ $F^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-x\sin x$
• ب)لا، لأنّ $F^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x+x\sin x$
• ج)لا، لأنّ $F^{\mathrm{\prime }}(x)=-x\sin x$

10. على أيّ مجالٍ يكون $F:x\mapsto \ln (\ln x)$ تابعاً أصليّاً للتابع $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x\ln x}}$؟

• أ)على $]0,+\mathrm{\infty }[$
• ب)على $]1,+\mathrm{\infty }[$
• ج)على $]0,1[\cup ]1,+\mathrm{\infty }[$

11. على المجال $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$ نأخذ $F(x)={\tan }^{2}x$ و $G(x)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$. أهما تابعان أصليّان للتابع نفسه؟

• أ)نعم، لأنّ $G-F=1$، وهو ثابت
• ب)لا، لأنّ صيغتيهما مختلفتان
• ج)لا، لأنّ $G$ غير معرّفٍ عند $0$

12. على $\mathbb{R}$ نأخذ $F(x)=\sin 3x-2\sin x$ و $G(x)=\sin x-3{\sin }^{3}x$. أهما تابعان أصليّان للتابع نفسه؟

• أ)نعم، لأنّ مشتقّيهما متساويان عند $x=0$
• ب)نعم، لأنّ كليهما مبنيٌّ على الجيب وحده
• ج)لا، لأنّ $F-G=-{\sin }^{3}x$، وهو ليس ثابتاً