التوابع الأصليّةالتحليل

1التعريف، وسهمٌ يُقلب

في الاشتقاق تنطلق من $F$ وتصل إلى $F^{\mathrm{\prime }}$. هنا يُعطى لك $F^{\mathrm{\prime }}$ ويُطلب $F$. لا يوجد اسمٌ جديد لهذه العمليّة ولا رمزٌ جديد لها في هذا الدرس، بل اسمٌ للنتيجة فقط: كلّ تابعٍ مشتقُّه هو $f$ يُسمّى تابعاً أصليّاً للتابع $f$. لاحظ التنكير: «تابعاً أصليّاً»، لا «التابع الأصليّ». السبب يظهر بعد قليل.

كيف نثبت أنّ تابعاً $F$ تابعٌ أصليّ لتابع $f$ على مجال $I$؟ يكفي أن نثبت أنّ $F$ اشتقاقيّ على $I$ وأنّ $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ أيّاً كانت $x$ من $I$. شرطان، لا أكثر، ولا حاجة إلى أيّ حساب.

اقرأ التعريف مرّةً أخرى، وانظر ما لا يطلبه. لا يطلب أن يكون $f$ مستمرّاً. لا يطلب أن يكون $f$ اشتقاقيّاً. لا يطلب من $f$ شيئاً على الإطلاق سوى أن يكون معرّفاً على $I$. الشرطان كلاهما على $F$، لا على $f$. وهذا ليس تفصيلاً: سنرى في آخر الدرس تابعاً غير مستمرّ وله مع ذلك تابعٌ أصليّ.

2واحدٌ يكفي، والباقي ثابت

«إنّ معرفة تابعٍ أصليٍّ لتابع على مجال كافٍ لمعرفة جميع التوابع الأصليّة لهذا التابع على هذا المجال». هذه جملة الكتاب بحرفها، وقد نقلناها كما هي، وهي أثمن ما في الدرس: لا يوجد بحثٌ ثانٍ. متى وجدت واحداً، وجدت الجميع، ولا يفصل بينها إلّا عددٌ حقيقيّ واحد.

🚨 لماذا كُتبت كلمة «مجال» في كلّ سطرٍ من هذا الدرس؟ لأنّ المبرهنة تصير خطأً من دونها. عد إلى السطر الثالث من أمثلة الكتاب: التابع $f:x\mapsto -{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ معرّفٌ على ${\mathbb{R}}^{\ast }$، وهي ليست مجالاً بل اجتماع مجالين. خذ $F_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$، وخذ $F_2$ الذي يساوي ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ عند $x<0$ ويساوي ${\displaystyle \frac{1}{x}}+1$ عند $x>0$. كلاهما مشتقُّه $-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ في كلّ نقطة، والفرق بينهما ليس ثابتاً: هو $0$ على اليسار و $1$ على اليمين. المبرهنة $1$ ② لا تُخالَف هنا، لأنّها لم تُدَّعَ أصلاً؛ شرطها غير محقَّق. ولهذا يذكر الكتاب المجالين منفصلين في سطره الثالث، من دون أن يقول لماذا.

3المنحني التكامليّ، وشرطٌ واحد يختار

للمبرهنة $1$ ترجمةٌ بالرسم، وهي أوضح من الصيغة. في معلمٍ متجانس $(O,\vec{i},\vec{j})$، إذا كان $C$ الخطّ البيانيّ لتابعٍ أصليّ $F$ للتابع $f$، سمّيناه منحنياً تكامليّاً للتابع $f$. وعندئذٍ ينتج المنحني التكامليّ الموافق للتابع الأصليّ $F_k:x\mapsto F(x)+k$ من $C$ بانسحابٍ شعاعه $k\vec{j}$. أي أنّ التوابع الأصليّة كلّها منحنٍ واحد، مرفوعٌ أو مخفوضٌ شاقوليّاً.

شرطٌ ابتدائيّ واحد يعطي جواباً واحداً، لا اثنين ولا عائلة. هذا مضمون المبرهنة $1$ ③، وهو ما يجعل $\ln$ و $\exp$ تابعين معيّنين لا عائلتين. ومن يترك $k$ في الجواب النهائيّ بعد إعطائه شرطاً ابتدائيّاً لم يُنهِ المسألة.

4هل يوجد أصلاً؟ المبرهنة الأساسيّة

انتبه إلى ما لم تقله المبرهنة $1$. فرضها المشترك، قبل النقاط الثلاث كلّها، هو أنّ $F$ تابعٌ أصليّ للتابع $f$ موجودٌ سلفاً. أي أنّها تفترض الوجود ولا تثبته. هي تصف العائلة بعد العثور على عنصرٍ منها. يبقى السؤال الأوّل بلا جواب: متى نضمن أنّ العائلة ليست خالية؟ الجواب في المبرهنة الآتية، ويسمّيها الكتاب المبرهنة الأساسيّة في نظرية التوابع الأصليّة.

السهم في اتّجاهٍ واحد. «مستمرّ» يكفي لوجود تابعٍ أصليّ، لكنّه ليس لازماً له، والكتاب لا ينفي العكس ولا يؤكّده. المثال المضادّ خارج عن مقرّرك، لكنّه يحسم الاتّجاه: خذ $F(x)=x^2\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ عند $x\mathrm{\ne }0$، مع $F(0)=0$. هذا التابع اشتقاقيّ عند كلّ نقطة، بما فيها الصفر حيث $F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$. ومشتقّه عند $x\mathrm{\ne }0$ هو $2x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-\cos \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$، وهذا يتأرجح بين $-1$ و $1$ مهما اقتربنا من الصفر، ويمكنك التحقّق بنفسك: عند $x={\displaystyle \frac{1}{2n\pi }}$ قيمته $-1$ بالضبط، وعند $x={\displaystyle \frac{1}{(2n+1)\pi }}$ قيمته $1$ بالضبط، مهما كبر العدد الطبيعيّ $n$. فلا نهاية له عند الصفر، أي أنّه غير مستمرّ هناك. ومع ذلك له تابعٌ أصليّ، وهو $F$ نفسه. الخلاصة: الاستمرار يضمن الوجود، والوجود لا يضمن الاستمرار.

المبرهنتان معاً تفسّران تعريفاً قديماً عندك. تذكّر أنّنا عرّفنا $\ln$ بأنّه التابع الأصليّ الوحيد للتابع $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ على $]0,+\mathrm{\infty }[$ الذي ينعدم عند $x=1$. الآن ترى من أين جاءت كلّ كلمةٍ في ذلك التعريف: التابع $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ مستمرٌّ على $]0,+\mathrm{\infty }[$، فالمبرهنة $2$ تضمن الوجود؛ والشرط $\ln 1=0$ هو شرطٌ ابتدائيّ، فالمبرهنة $1$ ③ تضمن الوحدانيّة. الكتاب يضع هذا المثال هنا ولا يشرح الرابط. الرابط هو هذا.

وكلمةٌ صريحة عمّا لا يفعله هذا الدرس. هو لا يحسب: مثالٌ واحدٌ يتيم عيّن فيه الكتاب تابعاً أصليّاً. وتمارينه الثلاثة فحصٌ لا حساب: اثنتان تقولان «تحقّق»، والثالثة سؤالُ نعم أو لا، وجوابه لا. أدواتُ الحساب تأتي في الدرس التالي، جدولين وثلاث حيل. أمّا ما يبقى معك من هنا فثلاثة أشياء: الثابت $k$ جزءٌ من الجواب، كلمة «مجال» ليست زينة، والتحقّق دائماً بالاشتقاق.