التكامل المحدّد وحساب المساحةالتحليل

1التكامل يحفظ الترتيب

حتّى الآن كان التكامل يُحسب. الآن يُقارَن. والفكرة بسيطة إلى حدّ أنّها تكاد تُنسى: إذا كان تابعٌ أكبر من آخر على مجال، فتكامله أكبر. والبرهان سطران، ويستعمل ما تعرفه من وحدة الاشتقاق: تابعٌ مشتقُّه موجب هو تابعٌ متزايد.

🚨 هذا هو الخطأ الوحيد الذي يذكره الكتاب صراحةً في صفحة أخطاء الوحدة كلّها، فخذه بجدّيّة: الخاصّتان تشترطان $a<b$. من يستنتج من $f\ge g$ أنّ ${\int }_a^{b}f\ge {\int }_a^{b}g$ من دون أن يفحص ترتيب الحدّين يخطئ، لأنّ تبديل الحدّين يقلب الإشارة ومعها المتراجحة. رتّب الحدّين أوّلاً، ثمّ اقرأ الإشارة.

2حين يكون التابع موجباً

الآن الخطوة التي ينتظرها الدرس كلّه. حتّى هنا كان ${\int }_a^{b}f$ عدداً، فرقَ قيمتين، بلا معنًى هندسيّ. المبرهنة الآتية تعطيه معنى: هو المساحة. لكنّها تشترط شرطين، وكلاهما ضروريّ: الحدّان مرتّبان، والتابع لا ينزل تحت المحور.

الكتاب يبرهن هذه المبرهنة ويكتب فوق برهانها «يُترك لقراءةٍ ثانية». والسبب وجيه: البرهان يفترض أنّ المساحة موجودة وأنّها تُجمع على الأجزاء، وهذان أمران لا يُعرَّفان في هذا الكتاب. فهو يبني الجسر من الطرف الآخر، ولا يدّعي غير ذلك.

3تحت المحور، والحالة العامّة

بقي السؤال الذي يقفز إلى الذهن فوراً: وإذا كان الخطّ تحت المحور؟ التكامل عندئذٍ سالب، والمساحة لا تكون سالبة. الكتاب يجيب على ثلاث مراحل، وهي أنظف ما في الدرس بناءً.

وهنا التمييز الذي يحمل الدرس كلّه، ويسمّيه الكتاب باسمه: ${\int }_a^{b}f$ هو «قياسٌ جبريّ» للمساحة، أي مساحةٌ بإشارة، موجبةٌ فوق المحور وسالبةٌ تحته، والمجموع جبريّ. أمّا ${\int }_a^b\mid f\mid$ فهو «المساحة الفعليّة». إن سُئلت عن «التكامل» فالجواب الأوّل، وإن سُئلت عن «المساحة» فالجواب الثاني، والفرق بينهما ليس تفصيلاً بل سؤالان مختلفان.

لا تكتب مساحةً سالبة أبداً. إن خرج تكاملك سالباً وكان المطلوب مساحة، فالتابع ينزل تحت المحور في مكانٍ ما، والخطأ ليس في الحساب بل في أنّك لم تقطّع. ارجع إلى الإشارة، جد الأصفار داخل المجال، واقطع عندها.

4الحساب كاملاً، بتغيّر الإشارة

بقي أن نرى الأمر كلّه في مسألةٍ واحدة. هذا مثال الكتاب الأخير، وهو أصعب حالةٍ في الدرس: تابعٌ يغيّر إشارته داخل المجال، فيلزم التقطيع. 🚨 واعلم أنّ الدورة أرحم من الكتاب هنا. في كلّ دورةٍ قرأناها يأتي قبل سؤال المساحة بندٌ يطلب دراسة وضع الخطّ من المحور أو من مستقيم، فتصل إلى المساحة والإشارة معروفةٌ لك، ولم نجد ولا مرّةً واحدة سؤال مساحةٍ احتاج إلى تقطيعٍ عند صفرٍ داخليّ. تعلّم القالب كاملاً هنا، فهو الذي يجعل الحالة الأسهل بديهيّة.

وكلمةٌ عن الوزن، وهي الأهمّ في الوحدة كلّها. هذا الدرس هو الوحيد فيها الذي وجدنا لسؤاله قالباً ثابتاً يتكرّر بحرفه: خمسٌ من إحدى عشرة دورةٍ حديثة تطلب مساحةً في آخر مسألة الدرس، بعد الدراسة والرسم، بعشر درجاتٍ إلى خمس عشرة. وهي دائماً بين خطٍّ ومحورٍ أو بين خطٍّ ومستقيم، لا بين خطّين. ولا يعني هذا أنّ بقيّة الوحدة بلا درجات: أثقل مواضع التكامل في الدورات كلّها ليست مساحةً بل حساب تكاملٍ صريح، وموضعها الدرس السابق. لكن تلك تتبدّل صيغتها من دورةٍ إلى دورة، وهذه لا تتبدّل. ولاحظ الترتيب: الرسم يسبق المساحة دائماً، لأنّ الرسم هو الذي يريك أين تنقلب الإشارة.

وأخيراً حالةٌ لا يعالجها هذا الدرس، لكنّك ستلقاها في تمارين الكتاب: المساحة بين خطّين بيانيَّين. الصيغة ${\int }_a^b\mid f-g\mid$، والطريقة هي نفسها تماماً: ادرس إشارة الفرق $f-g$، اقطع عند تقاطع الخطّين، واجمع. والكتاب يضع هذه الصيغة في نشاطٍ خارج الدرس، ويبدأها بكلمة «نقبّل»، أي إنّه لا يبرهنها. ولم نجد لها أثراً في الدورات التي قرأناها، فاعرفها ولا تُنفق عليها وقت التدرّب.