التكامل المحدّد وحساب المساحةالتحليل

التابع $f$ مستمرٌّ وموجب على $[a,b]$. متى نضمن أنّ ${\int }_a^{b}f\ge 0$؟

• دائماً، ما دام $f\ge 0$
• متى كان $f$ اشتقاقيّاً أيضاً
• متى كان $a<b$

علمنا أنّ $f\le g$ على $[0,4]$. ما الاستنتاج الصحيح؟

• ${\int }_0^{4}f\le {\int }_0^{4}g$
• ${\int }_4^{0}f\le {\int }_4^{0}g$
• $\mid {\int }_0^{4}f\mid \le \mid {\int }_0^{4}g\mid$

أثبتنا أنّ $\sin t\le t$ عند $t\ge 0$. ماذا نحصل عليه بمكاملة الطرفين على $[0,b]$؟

• $\cos b\le {\displaystyle \frac{b^2}{2}}$
• $\sin b\le {\displaystyle \frac{b^2}{2}}$
• $1-\cos b\le {\displaystyle \frac{b^2}{2}}$

التابع $f$ مستمرٌّ وموجب على $[a,b]$ مع $b>a$. ما الذي يساويه ${\int }_a^{b}f$؟

• مساحة السطح بين ${\mathcal{C}}_f$ ومحور الفواصل والمستقيمين $x=a$ و $x=b$
• طول قوس ${\mathcal{C}}_f$ المحصور بين $x=a$ و $x=b$
• متوسّط قيم $f$ على المجال

ما مساحة السطح المحدود المحصور بين الخطّ البياني للتابع $f:x\mapsto 4x(1-x)$ ومحور الفواصل؟

• $1$
• ${\displaystyle \frac{2}{3}}$
• ${\displaystyle \frac{4}{3}}$

التابع $f$ سالبٌ على $[a,b]$ مع $b>a$. ما المساحة؟

• ${\int }_a^{b}f$
• ${\int }_a^b(-f)$
• ${\int }_b^a(-f)$

التابع $f$ يغيّر إشارته داخل $[a,b]$. ما الصيغة العامّة للمساحة؟

• $\mid {\int }_a^{b}f\mid$
• ${\int }_a^b\mid f\mid$
• ${\int }_a^{b}f$

ما الفرق بين ${\int }_a^{b}f$ و ${\int }_a^b\mid f\mid$ بلغة الكتاب؟

• الأوّل قياسٌ جبريّ، أي مساحةٌ بإشارة، والثاني المساحة الفعليّة
• لا فرق، فالمساحة موجبة دائماً
• الأوّل مساحة والثاني حجم

نريد مساحة السطح بين $\mathcal{C}$ والمحور على $[-2,1]$ للتابع $f:x\mapsto 2x^3+3x^2-2x$. ما الخطوة الأولى؟

• تحليل $f$ وإيجاد أصفاره داخل المجال
• حساب ${\int }_{-2}^{1}f$ مباشرةً
• إيجاد تابعٍ أصليّ $F$ والتعويض بالحدّين