التكامل المحدّد وحساب المساحة

مبرهنة 8

• $a<b$ الفرض: ليكن $f$ و $g$ تابعين مستمرّين على مجال $I$، وليكن $a$ و $b$ عددين من $I$. لاحظ الشرط $a<b$ في السطرين، فهو ليس زينة.
• $f\ge 0⟹{\int }_a^{b}f\ge 0$ ① إذا كان $a<b$، وكان $f\ge 0$ على المجال $[a,b]$، كان ${\int }_a^{b}f\ge 0$.
• $f\ge g⟹{\int }_a^{b}f\ge {\int }_a^{b}g$ ② إذا كان $a<b$، وكان $f\ge g$ على المجال $[a,b]$، كان ${\int }_a^{b}f\ge {\int }_a^{b}g$. وهي ① مطبَّقةً على الفرق $f-g$.

الكتاب، الصفحة 217

وهذا أجمل ما في الدرس: ثلاث متراجحات مثلّثاتيّة تخرج واحدةً من الأخرى، وكلّ خطوةٍ تستعمل المبرهنة $8$ على ما أثبتته الخطوة السابقة. أثبت أنّه عند $0\le b$ تتحقّق المتراجحات الثلاث.

1. 1. نقطة البداية، وهي معلومة نبدأ من شيءٍ تعرفه منذ سنوات: التجيب لا يتجاوز الواحد أبداً. نكامل الطرفين على $[0,b]$ بالمبرهنة $8$ ②، والتابعان مستمرّان والحدّان مرتّبان.
   $${\int }_0^b\cos tdt\le {\int }_0^{b}1dt$$
2. 2. المتراجحة الأولى نحسب الطرفين: تابعٌ أصليّ للتجيب هو الجيب، وللواحد هو $t$. فتخرج المتراجحة الأولى في سطر.
   $$\sin b\le b$$
3. 3. الحيلة: ما أُثبت يصير مُكامَلاً الآن نستعمل ما أثبتناه للتوّ كنقطة بداية جديدة: $\sin t\le t$ على $[0,b]$. نكامل مرّةً ثانية.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^b\sin tdt}& {\displaystyle \le {\int }_0^{b}tdt}\\ {\displaystyle 1-\cos b}& {\displaystyle \le \frac{b^2}{2}}\end{array}$$
4. 4. وثالثةً، بالحيلة نفسها من الخطوة السابقة $1-\cos t\le {\displaystyle \frac{t^2}{2}}$ على $[0,b]$. نكامل مرّةً ثالثة، وتخرج المتراجحة الثالثة.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^b(1-\cos t)dt}& {\displaystyle \le {\int }_0^b\frac{t^2}{2}dt}\\ {\displaystyle b-\sin b}& {\displaystyle \le \frac{b^3}{6}}\end{array}$$

مبرهنة 9

• $b>a\text{,}f\ge 0$ الفرض: $f$ مستمرٌّ على مجال $I$، و $a$ و $b$ عددان من $I$ مع $b>a$، و $f\ge 0$ على $[a,b]$.
• ${\int }_a^{b}f=\mathcal{A}$ عندئذٍ يساوي ${\int }_a^{b}f$ مساحة السطح المحصور بين محور الفواصل، والخطّ البياني ${\mathcal{C}}_f$، والمستقيمين $d_a$ و $d_b$ اللذين معادلتاهما $x=a$ و $x=b$.

الكتاب، الصفحة 218

المثال الأوّل للمساحة، وهو الأبسط في الوحدة كلّها. يتقاطع الخطّ البياني للتابع $f:x\mapsto 4x(1-x)$ مع محور الفواصل عند $x=0$ و $x=1$. عيّن مساحة السطح المحدود المحصور بين الخطّ ومحور الفواصل.

1. 1. افحص الإشارة أوّلاً قبل أيّ حساب: هل التابع موجب على المجال؟ بين الصفرين $0$ و $1$ يكون $x>0$ و $1-x>0$، فالجداء موجب. الشرط الثاني للمبرهنة $9$ محقّق، والحدّان مرتّبان.
   $$\mathrm{\forall }x\in ]0,1[:f(x)>0$$
2. 2. افتح القوس ثمّ كامِل الجداء ليس سطراً من الجدول، فنفتحه أوّلاً. ثمّ حدّاً حدّاً بسطر القوى.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathcal{A}}& {\displaystyle ={\int }_0^1(4x-4x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2x^2-\frac{4}{3}{x}^3]}_0^1}\end{array}$$
3. 3. عوّض بالحدّين عند $1$ يعطي القوس $2-{\displaystyle \frac{4}{3}}$، وعند $0$ يعطي صفراً. والجواب موجب، كما يجب لمساحة.
   $$\mathcal{A}=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$$

نتيجة 10، ثمّ نتيجة 11

• $f\le 0⟹\mathcal{A}={\int }_a^b(-f)$ المرحلة الأولى، النتيجة $\mathrm{1<!--\; -->0}$ على الصفحة $\mathrm{2<!--\; -->1<!--\; -->9}$: إذا كان $b>a$ و $f\le 0$ على $[a,b]$، فالمساحة هي تكامل معاكس التابع. والسبب أنّ ${\mathcal{C}}_{-f}$ هو صورة ${\mathcal{C}}_f$ بالتناظر بالنسبة إلى محور الفواصل، والتناظر لا يغيّر المساحة.
• $\mathcal{A}={\int }_a^b\mid f\mid$ المرحلة الثانية، النتيجة $\mathrm{1<!--\; -->1}$ على الصفحة $\mathrm{2<!--\; -->2<!--\; -->0}$: بفرض $b>a$ وحده، بلا أيّ شرطٍ على إشارة $f$. هذه الصيغة تجمع الحالتين، لأنّ $\mid f\mid$ موجبٌ دائماً.
• ${\int }_a^b\mid f\mid ={\int }_a^c\mid f\mid +{\int }_c^b\mid f\mid$ المرحلة الثالثة، وهي طريقة الحساب لا صيغة جديدة: إذا غيّر التابع إشارته، نستعين بعلاقة شال ونقطع عند كلّ صفر، ثمّ نحسب كلّ قطعةٍ وحدها ونجمع. الكتاب لا يحسب أبداً وبداخل التكامل قيمةٌ مطلقة؛ القيمة المطلقة كتابة، والتقطيع حساب.

الكتاب، الصفحة 219

ليكن $\mathcal{C}$ الخطّ البياني للتابع $f:x\mapsto 2x^3+3x^2-2x$. احسب $\mathcal{A}$، مساحة السطح المحصور بين $\mathcal{C}$ ومحور الفواصل والمستقيمين $x=-2$ و $x=1$.

1. 1. حلّل، وادرس الإشارة أوّل خطوة دائماً: أين ينعدم التابع داخل المجال؟ نُخرج $x$ عاملاً مشتركاً ثمّ نحلّل ثلاثيّ الحدود. الأصفار هي $-2$ و $0$ و $\frac{1}{2}$، واثنان منها داخل المجال.
   $$f(x)=x(x+2)(2x-1)$$
2. 2. جدول الإشارة، بلا جدول ثلاثة عوامل، فالإشارة تنقلب عند كلّ صفر. بالتعويض بقيمةٍ واحدة في كلّ قطعة: $f(-1)=3>0$، و $f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{4}\right)<0$، و $f(1)=3>0$.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle f}& {\displaystyle \ge 0\text{ <!-- --> <!-- -->:<!-- --> <!-- --> }[-2,0]\text{ <!-- --> <!-- -->,<!-- --> <!-- --> }[\frac{1}{2},1]}\\ {\displaystyle f}& {\displaystyle \le 0\text{ <!-- --> <!-- -->:<!-- --> <!-- --> }[0,\frac{1}{2}]}\end{array}$$
3. 3. اقطع، واقلب في الوسط بعلاقة شال نقطع عند الصفرين الداخليّين. القطعة الوسطى وحدها تحتاج معاكس التابع، لأنّ التابع سالبٌ هناك.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathcal{A}}& {\displaystyle ={\int }_{-2}^{0}f+{\int }_0^{\frac{1}{2}}(-f)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{\frac{1}{2}}^{1}f}\end{array}$$
4. 4. تابعٌ أصليّ واحد يكفي للقطع الثلاث لا حاجة إلى ثلاثة حسابات منفصلة: تابعٌ أصليّ واحد يخدم القطع كلّها، ونعوّض به عند الحدود الأربعة.
   $$F(x)=\frac{x^4}{2}+x^3-x^2$$
5. 5. التعويض والجمع القيم هي $F(-2)=-4$ و $F(0)=0$ و $F\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{\mathrm{3<!--\; -->2}}$ و $F(1)=\frac{1}{2}$. القطع تعطي $4$ و $\frac{3}{\mathrm{3<!--\; -->2}}$ و $\frac{\mathrm{1<!--\; -->9}}{\mathrm{3<!--\; -->2}}$.
   $$\mathcal{A}=4+\frac{3}{\mathrm{3<!--\; -->2}}+\frac{\mathrm{1<!--\; -->9}}{\mathrm{3<!--\; -->2}}=\frac{\mathrm{7<!--\; -->5}}{\mathrm{1<!--\; -->6}}$$