التوابع المستمرّة وحلّ المعادلاتالتحليل

التابع $f$ مستمرّ على $[0,5]$، و $f(0)=-2$ و $f(5)=6$. ماذا تعطي مبرهنة القيمة الوسطى عن المعادلة $f(x)=0$؟

• حلّاً وحيداً في $[0,5]$
• لا شيء، لأنّ التابع غير مطّرد
• حلّاً واحداً على الأقلّ في $[0,5]$

ما الذي يضمن وحدانيّة حلّ المعادلة $f(x)=k$ على مجال؟

• الاطّراد التامّ للتابع على ذلك المجال
• استمرار التابع على ذلك المجال
• كون المجال مغلقاً

التابع $f$ مستمرّ ومتزايد تماماً على $I=[1,4]$، و $f(1)=-3$ و $f(4)=5$. ما $f(I)$؟

• $]-3,5[$
• $[1,4]$
• $[-3,5]$

التابع $f$ معرّف على $I=[-3,2]$ وفق الصيغة الآتية. ما $f(I)$؟

• $[5,\mathrm{1<!--\; -->0}]$
• $[1,\mathrm{1<!--\; -->0}]$
• $[1,5]$

التابع $f$ معرّف ومستمرّ على مجموعة الأعداد الحقيقية، وجدول تغيّراته هو الآتي. كم عدد حلول المعادلة $f(x)=0$؟

• $2$
• $3$
• $1$

لماذا لا تكفي مبرهنة القيمة الوسطى وحدها لتحديد عدد الحلول؟

• لأنّها تقول «يوجد على الأقلّ» ولا تقول «يوجد وحيد»
• لأنّها تشترط أن يكون التابع قابلاً للاشتقاق
• لأنّها لا تنطبق إلّا على المجالات المفتوحة

التابع $f$ مستمرّ ومتزايد تماماً على $I=]0,3]$، ونهايته عند $0$ هي $-\mathrm{\infty }$، و $f(3)=4$. ما $f(I)$؟

• $[f(0),4]$
• $]-\mathrm{\infty },4[$
• $]-\mathrm{\infty },4]$

تابع معرّف على $[1,4]$ وغير مستمرّ، وله قفزة عند $2$. هل يكفي أن يكون $k$ محصوراً بين قيمتَي التابع عند الطرفين ليوجد حلّ للمعادلة $f(x)=k$؟

• لا، فبلا استمرار قد تقفز القيم فوق $k$ دون أن تبلغه
• نعم، فالحصر بين القيمتين وحده يكفي
• نعم، إذا كان التابع مطّرداً

التابع $f$ مستمرّ ومطّرد على $[0,5]$، لكنّه ليس مطّرداً تماماً. ماذا يمكن أن تكون مجموعة حلول المعادلة $f(x)=1$؟

• نقطة واحدة لا غير، دائماً
• قد تكون مجالاً كاملاً من القيم
• المجموعة الخالية، دائماً