الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: التوابع المستمرّة وحلّ المعادلات

التوابع: النهايات والاستمرار . 16 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. التابع $f$ مستمرّ على $[0, 5]$ ، و $f (0) = - 2$ و $f (5) = 6$ . ماذا تعطي مبرهنة القيمة الوسطى عن المعادلة $f (x) = 0$ ؟
- أ)حلّاً وحيداً في $[0, 5]$
- ب)لا شيء، لأنّ التابع غير مطّرد
- ج)حلّاً واحداً على الأقلّ في $[0, 5]$
2. ما الذي يضمن وحدانيّة حلّ المعادلة $f (x) = k$ على مجال؟
- أ)الاطّراد التامّ للتابع على ذلك المجال
- ب)استمرار التابع على ذلك المجال
- ج)كون المجال مغلقاً
3. التابع $f$ مستمرّ ومتزايد تماماً على $I = [1, 4]$ ، و $f (1) = - 3$ و $f (4) = 5$ . ما $f (I)$ ؟
- أ) $] - 3, 5 [$
- ب) $[1, 4]$
- ج) $[- 3, 5]$
4. التابع $f$ معرّف على $I = [- 3, 2]$ وفق الصيغة الآتية. ما $f (I)$ ؟
$f (x) = x^{2} + 1$
- أ) $[5, 10]$
- ب) $[1, 10]$
- ج) $[1, 5]$
5. التابع $f$ معرّف ومستمرّ على مجموعة الأعداد الحقيقية، وجدول تغيّراته هو الآتي. كم عدد حلول المعادلة $f (x) = 0$ ؟
$\begin{array}{cccccccc} x & - \infty & - 1 & 2 & + \infty \\ f (x) & + \infty & ↘ & - 2 & ↗ & 4 & ↘ & 3 \end{array}$
- أ) $2$
- ب) $3$
- ج) $1$
6. لماذا لا تكفي مبرهنة القيمة الوسطى وحدها لتحديد عدد الحلول؟
- أ)لأنّها تقول «يوجد على الأقلّ» ولا تقول «يوجد وحيد»
- ب)لأنّها تشترط أن يكون التابع قابلاً للاشتقاق
- ج)لأنّها لا تنطبق إلّا على المجالات المفتوحة
7. التابع $f$ مستمرّ ومتزايد تماماً على $I =] 0, 3]$ ، ونهايته عند $0$ هي $- \infty$ ، و $f (3) = 4$ . ما $f (I)$ ؟
- أ) $[f (0), 4]$
- ب) $] - \infty, 4 [$
- ج) $] - \infty, 4]$
8. تابع معرّف على $[1, 4]$ وغير مستمرّ، وله قفزة عند $2$ . هل يكفي أن يكون $k$ محصوراً بين قيمتَي التابع عند الطرفين ليوجد حلّ للمعادلة $f (x) = k$ ؟
- أ)لا، فبلا استمرار قد تقفز القيم فوق $k$ دون أن تبلغه
- ب)نعم، فالحصر بين القيمتين وحده يكفي
- ج)نعم، إذا كان التابع مطّرداً
9. التابع $f$ مستمرّ ومطّرد على $[0, 5]$ ، لكنّه ليس مطّرداً تماماً. ماذا يمكن أن تكون مجموعة حلول المعادلة $f (x) = 1$ ؟
- أ)نقطة واحدة لا غير، دائماً
- ب)قد تكون مجالاً كاملاً من القيم
- ج)المجموعة الخالية، دائماً
10. التابع $f$ مستمرّ ومطّرد تماماً على $[2, 3]$ ، و $f (2) = - 1$ و $f (3) = 8$ . ماذا تستنتج عن المعادلة $f (x) = 0$ ؟
- أ)لها حلّان في $] 2, 3 [$
- ب)لها حلّ وحيد في $] 2, 3 [$
- ج)لا يمكن الاستنتاج قبل حساب المشتقّ
11. ما الذي تمثّله حلول المعادلة $f (x) = k$ على الشكل؟
- أ)تراتيب النقاط المشتركة بين $C_{f}$ والمستقيم $y = k$
- ب)فواصل النقاط المشتركة بين $C_{f}$ ومحور الفواصل
- ج)فواصل النقاط المشتركة بين $C_{f}$ والمستقيم $y = k$
12. التابع $f$ تقابل من $I$ إلى $J$ ، و $g$ تقابله العكسي. أيّ العلاقات الآتية صحيحة أيّاً كان $x$ من $I$ ؟
- أ) $g (f (x)) = f (x)$
- ب) $g (x) = \frac{1}{f (x)}$
- ج) $g (f (x)) = x$
13. الخطّان البيانيان لتابع تقابل ولتقابله العكسي، في معلم متجانس، متناظران بالنسبة إلى أيّ مستقيم؟
- أ) $y = x$
- ب) $y = 0$
- ج) $x = 0$
14. متى يكون التابع $f$ تقابلاً من مجال $I$ إلى $J = f (I)$ ؟
- أ)حين يكون مستمرّاً ومطّرداً تماماً على $I$
- ب)حين يكون مستمرّاً على $I$
- ج)حين يكون قابلاً للاشتقاق على $I$
15. التابع $f$ معرّف على مجموعة الأعداد الحقيقية وفق الصيغة الآتية. لماذا للمعادلة $f (x) = 0$ حلّ وحيد في $[2, 3]$ ؟
$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 1$
- أ)لأنّ $f (2)$ و $f (3)$ مختلفتا الإشارة، وهذا وحده يكفي
- ب)لأنّ $f$ مستمرّ ومتزايد تماماً على $[2, 3]$ ، ولأنّ $f (2) \times f (3) < 0$
- ج)لأنّ $f$ كثير حدود من الدرجة الثالثة، ولكثيرات الحدود الفرديّة جذر واحد
16. التابع $f$ مستمرّ على $[0, 4]$ ، و $f (0) = 2$ و $f (4) = 5$ . هل يمكن أن يكون للمعادلة $f (x) = 0$ حلّ في هذا المجال؟
- أ)لا، لأنّ قيمتَي الطرفين موجبتان
- ب)نعم، فالمبرهنة لا تمنع ذلك
- ج)لا، لأنّ $0$ ليس محصوراً بين $2$ و $5$

سلّم التصحيح

1. ج صحيح. العدد $0$ محصور بين $- 2$ و $6$ ، والتابع مستمرّ على المجال المغلق، فيوجد $c$ واحد على الأقلّ يحقّق $f (c) = 0$ .
2. أ صحيح. الاطّراد التامّ يمنع عددين مختلفين من أن تكون لهما الصورة نفسها، فالحلّ واحد على الأكثر.
3. ج صحيح. التابع مستمرّ ومتزايد تماماً على مجال مغلق، فالمبرهنة $7$ تعطي $f (I) = [f (1), f (4)]$ .
4. ب صحيح. القيمة الصغرى هي $f (0) = 1$ والقيمة العظمى هي $f (- 3) = 10$ ، وصورة المجال المغلق وفق تابع مستمرّ هي $[m, M]$ .
5. أ صحيح. صور مجالات الاطّراد هي $] - 2, + \infty [$ و $[- 2, 4]$ و $] 3, 4 [$ . العدد $0$ ينتمي إلى الأوّلين ولا ينتمي إلى الثالث، فالحلول اثنان.
6. أ صحيح. الكتاب يضيف صراحةً أنّ العدد $c$ ليس وحيداً بالضرورة، ويرفق شكلاً فيه ثلاث نقاط تقاطع.
7. ج صحيح. المبرهنة $8$ في حالة $I =] a, b]$ تعطي $f (I) =] \lim_{x \to 0} f (x), f (3)]$ .
8. أ صحيح. هذا مثال الكتاب نفسه: المعادلة $f (x) = 4$ لها حلّ، والمعادلة $f (x) = 2$ لا حلّ لها، والقفزة هي السبب.
9. ب صحيح. مثال الكتاب تابع مطّرد غير مطّرد تماماً، وكلّ قيم المجال $[2, 3]$ فيه حلول للمعادلة $f (x) = 1$ .
10. ب صحيح. $f (2) \times f (3) < 0$ مع الاستمرار والاطّراد التامّ، وهذه هي النتيجة المذكورة في الكتاب حرفاً بحرف.
11. ج صحيح. هذه هي القراءة الهندسيّة التي يفتتح بها الكتاب الوحدة، وهي أساس عدّ الحلول كلّه.
12. ج صحيح. ومعها العلاقة المقابلة $f (g (y)) = y$ أيّاً كان $y$ من $J$ . كلّ من التابعين يردّ ما فعله الآخر.
13. أ صحيح. النقطتان $M (x, y)$ و $M^{'} (y, x)$ متناظرتان بالنسبة إلى هذا المستقيم، والتقابل العكسي يبدّل الفاصلة بالترتيب.
14. أ صحيح. الاستمرار يجعل $J$ مجالاً ويضمن الوجود، والاطّراد التامّ يضمن أنّ لكلّ $y$ من $J$ أصلاً واحداً فقط.
15. ب صحيح. $f (2) = - 1$ و $f (3) = 8$ ، والتابع متزايد تماماً بعد $\frac{4}{3}$ ، فتنطبق النتيجة وتعطي حلّاً وحيداً.
16. ب صحيح. مبرهنة القيمة الوسطى تعطي شرطاً كافياً للوجود لا شرطاً لازماً. حين لا تتبدّل الإشارة بين الطرفين لا نستنتج شيئاً، لا الوجود ولا الانعدام.