التوابع المستمرّة وحلّ المعادلاتالتحليل

1المعادلة بوصفها تقاطعاً

للمعادلة $f(x)=k$ قراءة هندسيّة واحدة لا تتغيّر. ارسم الخطّ البياني $C_f$، ثمّ ارسم المستقيم $d$ الذي معادلته $y=k$، وهو مستقيم أفقي. كلّ نقطة مشتركة بين الخطّين تعطي حلّاً، وفاصلة تلك النقطة هي الحلّ نفسه.

وبهذه القراءة صار السؤال بصريّاً: البحث عن الحلول هو البحث عن نقاط التقاطع، وعدد الحلول هو عدد تلك النقاط. انظر إلى الشكل الآتي، ثمّ عدّ بنفسك.

الشكل يطرح سؤالين مختلفين، ومن الخلط بينهما تأتي أكثر أخطاء هذا الدرس. الأوّل: هل يوجد تقاطع أصلاً، أي هل للمعادلة حلّ. والثاني: كم عدد نقاط التقاطع، أي كم عدد الحلول. ولكلّ سؤال أداته الخاصّة، ولا تغني إحداهما عن الأخرى.

الاستمرار يعطي الوجود، والاطّراد التامّ يعطي الوحدانيّة. من حفظ هذين السطرين ملك مفتاح الدرس كلّه.

2مبرهنة القيمة الوسطى

قلنا في درس الاستمرار إنّ الخطّ البياني لتابع مستمرّ على مجال يُرسم قطعةً واحدة، دون رفع القلم. اجعل هذه الصورة أمامك: القلم ينطلق من الارتفاع $f(a)$ وينتهي عند الارتفاع $f(b)$، ولا يُرفع في الطريق. إذن كلّ ارتفاع محصور بين هذين الارتفاعين لا بدّ أن يُعبَر مرّة واحدة على الأقلّ.

هذا كلّ مضمون مبرهنة القيمة الوسطى. والكتاب يقبلها دون إثبات.

الكتاب يكتب «يوجد على الأقلّ»، ويضيف صراحةً أنّ العدد $c$ ليس وحيداً بالضرورة. في شكل الفقرة السابقة كان للمعادلة $f(x)=3$ ثلاثة حلول، وكلّها من المجال $[0,4]$، والتابع مستمرّ. من استنتج الوحدانيّة من هذه المبرهنة وحدها فقد نسب إليها ما ليس فيها.

وشرط الاستمرار ليس زينة في نصّ المبرهنة. الكتاب يعطي تابعاً معرّفاً على $[1,4]$ وغير مستمرّ، خطّه البياني قطعتان بينهما قفزة عند $2$. المعادلة $f(x)=4$ لها حلّ، أمّا المعادلة $f(x)=2$ فلا حلّ لها، مع أنّ العدد $2$ محصور بين $f(1)=0$ و $f(4)=5$. القفزة عبرت فوق العدد $2$ دون أن تبلغه.

قبل استعمال المبرهنة يُتحقّق من الاستمرار على المجال المغلق كلّه، لا من تبدّل الإشارة وحده. تبدّل الإشارة دون استمرار لا يعطي شيئاً.

3الاطّراد التامّ يعطي الوحدانيّة

ننتقل إلى السؤال الثاني: كم عدد الحلول. تصوّر تابعاً متزايداً تماماً على مجال $I$. التزايد التامّ معناه أنّ $x_1<x_2$ يعطي دائماً $f(x_1)<f(x_2)$، فلا يمكن لعددين مختلفين من $I$ أن تكون لهما الصورة نفسها. وإذا كان لكلّ صورة أصلٌ واحد على الأكثر، فللمعادلة $f(x)=y$ حلّ واحد على الأكثر.

اجمع هذا مع مبرهنة القيمة الوسطى: تلك أعطت حلّاً واحداً على الأقلّ، وهذا يعطي حلّاً واحداً على الأكثر. فالنتيجة حلّ واحد وواحد فقط. لاحظ أنّ كلّ نصف من الجواب جاء من فرض مختلف.

وأكثر ما يُستعمل في الامتحان حالة خاصّة واحدة: $y=0$، أي البحث عن جذر. الكتاب يفردها في نتيجة مستقلّة.

نصّ النتيجة في الكتاب يقول «مطّرداً» دون كلمة «تماماً»، بينما الإثبات يستند إلى المبرهنة $7$ التي تشترط «مطّرداً تماماً». المقصود هو الاطّراد التامّ، والكلمة الناقصة ليست تخفيفاً للشرط. وبغير «تماماً» قد تكون مجموعة الحلول مجالاً كاملاً: الكتاب نفسه يعطي تابعاً مطّرداً غير مطّرد تماماً، فيه كلّ قيم المجال $[2,3]$ حلول للمعادلة $f(x)=1$.

يبقى سؤال عمليّ: كيف نتحقّق من أنّ التابع متزايد تماماً على مجال؟ في التمارين يُعطى جدول التغيّرات جاهزاً، فنقرأ منه الاطّراد مباشرةً. وحين لا يُعطى نبني الجدول من إشارة المشتقّ $f^{\mathrm{\prime }}$. الاشتقاق موضوع الوحدة الثالثة من هذا الكتاب، ويُفترض معروفاً من صفّ سابق، ولهذا يستعمله الكتاب هنا دون أن يشرحه. إن لم تكن قد درسته بعد فاقرأ الجدول كما يُعطى لك، وعُد إلى بنائه بعد وحدة الاشتقاق.

الترتيب في كلّ مسألة واحد: استمرار على المجال المغلق، ثمّ اطّراد تامّ عليه، ثمّ موقع العدد $k$ من صورة المجال. ثلاثة أسطر، ولكلّ سطر منها درجاته في سلّم التصحيح.

4مثال الكتاب: معادلة من الدرجة الثالثة

نجمع الآن كلّ ما سبق في مثال الكتاب نفسه. اقرأ الخطوة، نفّذها على ورقتك، ثمّ اكشف الجواب. لاحظ أنّ الهدف ليس إيجاد قيمة الحلّ، بل إثبات وجوده ووحدانيّته ثمّ حصره بين عددين.

5صورة مجال وعدد الحلول

المبرهنة $7$ أعطتنا صورة المجال المغلق $[a,b]$. لكنّ المجالات في التمارين ليست كلّها مغلقة: قد يكون الطرف مفتوحاً، وقد يكون $-\mathrm{\infty }$ أو $+\mathrm{\infty }$. عندها لا وجود للقيمة $f(a)$ أصلاً، وتقوم النهاية مقامها.

عند الطرف المفتوح لا تكتب $f(a)$، فالعدد $a$ لا ينتمي إلى المجال ولا قيمة للتابع عنده. تُكتب النهاية، ويبقى قوس الصورة مفتوحاً من تلك الجهة. سلالم التصحيح تخصم على القوس الخاطئ خصماً مستقلّاً عن خصم القيمة.

وإذا لم يكن التابع مطّرداً فلا تكتب $f\left([a,b]\right)=[f(a),f(b)]$. هذا خطأ يذكره الكتاب نصّاً في فقرة الأخطاء التي يجب تجنّبها. صورة المجال المغلق وفق تابع مستمرّ تبقى مجالاً مغلقاً حتى بلا اطّراد، لكنّ طرفيه هما القيمة الصغرى $m$ والقيمة العظمى $M$، لا قيمتا الطرفين.

وبهذه المبرهنة يصير عدّ الحلول عملاً منظّماً لا تخميناً من الرسم. الطريقة أربع خطوات: نقسّم مجموعة التعريف إلى مجالات اطّراد، ثمّ نحسب صورة كلّ مجال، ثمّ نسأل في كلّ مرّة هل ينتمي العدد المطلوب إلى تلك الصورة، ثمّ نجمع. المثال الآتي هو مثال الكتاب.

6مفهوم التابع العكسي

لنقف عند العبارة «حلّ واحد وواحد فقط» وقفة أخيرة. إذا كان $f$ مستمرّاً ومطّرداً تماماً على مجال $I$، ووضعنا $J=f(I)$، فلكلّ $y$ من $J$ أصلٌ واحد لا غير في $I$. أي إنّ الطريق من $y$ إلى $x$ طريق وحيد أيضاً، فيمكن أن نجعله تابعاً بدوره.

الشرطان اللذان يجعلان ذلك ممكناً هما: كلّ عنصر من $I$ له صورة في $J$، وكلّ عنصر من $J$ له أصل واحد فقط في $I$. حين يتحقّقان نقول إنّ $f$ تقابل من $I$ إلى $J$.

وللتابع العكسي صورة هندسيّة بسيطة. النقطتان $M(x,y)$ و $M^{\mathrm{\prime }}(y,x)$ متناظرتان بالنسبة إلى المستقيم $d$ الذي معادلته $y=x$. وبما أنّ $y=f(x)$ يكافئ $x=g(y)$، فكلّ نقطة من $C_f$ نظيرتها نقطة من $C_g$، والعكس بالعكس. إذن الخطّان البيانيان متناظران بالنسبة إلى $d$، شرط أن يكون المعلم متجانساً.

التابع العكسي ليس مقلوب التابع. $f^{-1}(y)$ هو حلّ المعادلة $f(x)=y$، أمّا $\frac{1}{f(y)}$ فعدد آخر تماماً. الرمز نفسه في الحالتين، والمعنى مختلف، والخلط بينهما يفسد المسألة من سطرها الأوّل.

ومثال الكتاب الختامي هو أوضح مثال ممكن: التابع $x\mapsto x^2$ والتابع $x\mapsto \sqrt{x}$، وكلاهما مستمرّ ومتزايد تماماً على $I=[0,+\mathrm{\infty }[$. وضع $y=x^2$ يعطي $x=\sqrt{y}$، والعكس صحيح، فكلّ منهما تقابل عكسي للآخر، وخطّاهما البيانيان متناظران بالنسبة إلى المستقيم $y=x$.

الوحدانيّة ليست نتيجة تُكتب في آخر السطر وتُنسى. هي التي تسمح بالعودة من الصورة إلى الأصل، ومنها يولد التابع العكسي كلّه.