مشتقّ التابع المركّب ln∘uالتحليل

التابع $u$ اشتقاقيٌّ وموجبٌ تماماً على $I$. ما مشتقّ $x\mapsto \ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(u(x))$؟

• ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x)}}$
• ${\displaystyle \frac{1}{u(x)}}$
• ${\displaystyle \frac{u(x)}{u^{\mathrm{\prime }}(x)}}$

ما الشرط الذي يشترطه الكتاب على $u$ قبل تطبيق قاعدة اشتقاق $\ln \circ u$؟

• أن يكون $u$ موجباً أو معدوماً على $I$
• أن يكون $u$ موجباً تماماً على $I$
• أن يكون $u^{\mathrm{\prime }}$ موجباً تماماً على $I$

ما مشتقّ $f(x)=\ln (3x+5)$ على $]-\frac{5}{3},+\mathrm{\infty }[$؟

• ${\displaystyle \frac{1}{3x+5}}$
• ${\displaystyle \frac{3}{x}}$
• ${\displaystyle \frac{3}{3x+5}}$

ما مشتقّ $f(x)=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(x^2+1)$ على $\mathbb{R}$؟

• ${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$
• ${\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$
• ${\displaystyle \frac{2x}{x^2}}$

ما مشتقّ $f(x)=\ln (x-2)-\ln (x+2)$ على $]2,+\mathrm{\infty }[$؟

• ${\displaystyle \frac{4}{x^2-4}}$
• ${\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}$
• ${\displaystyle \frac{1}{(x-2)(x+2)}}$

التابع $u$ اشتقاقيٌّ وسالبٌ تماماً على $I$. ما مشتقّ $f(x)=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(-u(x))$؟

• $-{\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x)}}$
• ${\displaystyle \frac{-u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x)}}$
• ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x)}}$

لماذا لا يجوز القول إنّ $x\mapsto \ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(x^2-1)$ اشتقاقيٌّ على $\mathbb{R}$؟

• لأنّ $x^2-1$ ليس اشتقاقيّاً على $\mathbb{R}$
• لأنّ مشتقّه ${\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}}$ غير معرّف عند $x=0$
• لأنّ $x^2-1$ ليس موجباً تماماً على $\mathbb{R}$

ما مشتقّ $f(x)=\ln (\cos x)$ على $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$؟

• $-\tan x$
• $\tan x$
• ${\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$

ما مشتقّ $f(x)=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}\right)$ على $]1,+\mathrm{\infty }[$؟

• ${\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$
• ${\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}$
• ${\displaystyle \frac{2}{(x+1{)}^2}}$