الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: مشتقّ التابع المركّب ln∘u

التابع اللّوغاريتمي . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. التابع $u$ اشتقاقيٌّ وموجبٌ تماماً على $I$ . ما مشتقّ $x \mapsto \ln ⁣ (u (x))$ ؟
- أ) $\frac{u^{'} (x)}{u (x)}$
- ب) $\frac{1}{u (x)}$
- ج) $\frac{u (x)}{u^{'} (x)}$
2. ما الشرط الذي يشترطه الكتاب على $u$ قبل تطبيق قاعدة اشتقاق $\ln \circ u$ ؟
- أ)أن يكون $u$ موجباً أو معدوماً على $I$
- ب)أن يكون $u$ موجباً تماماً على $I$
- ج)أن يكون $u^{'}$ موجباً تماماً على $I$
3. ما مشتقّ $f (x) = \ln (3 x + 5)$ على $] - \frac{5}{3}, + \infty [$ ؟
- أ) $\frac{1}{3 x + 5}$
- ب) $\frac{3}{x}$
- ج) $\frac{3}{3 x + 5}$
4. ما مشتقّ $f (x) = \ln ⁣ (x^{2} + 1)$ على $R$ ؟
- أ) $\frac{1}{x^{2} + 1}$
- ب) $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$
- ج) $\frac{2 x}{x^{2}}$
5. ما مشتقّ $f (x) = \ln (x - 2) - \ln (x + 2)$ على $] 2, + \infty [$ ؟
- أ) $\frac{4}{x^{2} - 4}$
- ب) $\frac{1}{x^{2} - 4}$
- ج) $\frac{1}{(x - 2) (x + 2)}$
6. التابع $u$ اشتقاقيٌّ وسالبٌ تماماً على $I$ . ما مشتقّ $f (x) = \ln ⁣ (- u (x))$ ؟
- أ) $- \frac{u^{'} (x)}{u (x)}$
- ب) $\frac{- u^{'} (x)}{u (x)}$
- ج) $\frac{u^{'} (x)}{u (x)}$
7. لماذا لا يجوز القول إنّ $x \mapsto \ln ⁣ (x^{2} - 1)$ اشتقاقيٌّ على $R$ ؟
- أ)لأنّ $x^{2} - 1$ ليس اشتقاقيّاً على $R$
- ب)لأنّ مشتقّه $\frac{2 x}{x^{2} - 1}$ غير معرّف عند $x = 0$
- ج)لأنّ $x^{2} - 1$ ليس موجباً تماماً على $R$
8. ما مشتقّ $f (x) = \ln (\cos x)$ على $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ ؟
- أ) $- \tan x$
- ب) $\tan x$
- ج) $\frac{1}{\cos x}$
9. ما مشتقّ $f (x) = \ln ⁣ (\frac{x - 1}{x + 1})$ على $] 1, + \infty [$ ؟
- أ) $\frac{x + 1}{x - 1}$
- ب) $\frac{2}{x^{2} - 1}$
- ج) $\frac{2}{(x + 1)^{2}}$
10. ما مشتقّ $f (x) = \ln (2 x)$ على $] 0, + \infty [$ ؟
- أ) $\frac{2}{x}$
- ب) $\frac{1}{2 x}$
- ج) $\frac{1}{x}$
11. ما مشتقّ $f (x) = \ln ⁣ (\sqrt{x})$ على $] 0, + \infty [$ ؟
- أ) $\frac{1}{\sqrt{x}}$
- ب) $\frac{1}{2 x}$
- ج) $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
12. التابع $u$ اشتقاقيٌّ وموجبٌ تماماً على المجال $I$ . على أيّ مجموعة يكون $\ln \circ u$ اشتقاقيّاً؟
- أ)على $I$ كلّها
- ب)على $I$ ما عدا أصفار $u^{'}$
- ج)على $I \cap] 0, + \infty [$

سلّم التصحيح

1. أ نعم: مشتق الداخل على الداخل. وتحقّق بالحالة $u (x) = x$ فتعود الصيغة إلى $\frac{1}{x}$ .
2. ب نعم، وهو الشرط الذي يطبعه الكتاب بلونٍ مختلف عن بقيّة السطر. من دونه لا وجود للتابع أصلاً.
3. ج نعم. مشتق الداخل هو $3$ ، والمجال المعطى هو بالضبط ما يجعل $3 x + 5 > 0$ .
4. ب نعم. والداخل موجبٌ تماماً على $R$ كلّها لأنّ المربّع لا يقلّ عن الصفر، فالشرط محقّق من دون استثناء.
5. أ نعم. المشتق هو $\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}$ ، وبتوحيد المقامين يصير $\frac{(x + 2) - (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{4}{x^{2} - 4}$ .
6. ج نعم، وهذه هي المفاجأة: الإشارتان السالبتان تحذفان إحداهما الأخرى، فالصيغة لا تتغيّر عن الحالة الموجبة.
7. ج نعم. الشرط يسقط على المجال $[- 1, 1]$ ، فالتابع غير معرّف هناك أصلاً. وهو اشتقاقيٌّ على كلّ مجالٍ جزئيّ يتجنّبه.
8. أ نعم. مشتق الداخل هو $- \sin x$ ، فالكسر $\frac{- \sin x}{\cos x} = - \tan x$ . والمجال المعطى هو ما يجعل $\cos x > 0$ .
9. ب نعم. وأسرع طريق أن تكتب $f (x) = \ln (x - 1) - \ln (x + 1)$ أوّلاً، فيصير المشتق $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ .
10. ج نعم، والنتيجة لافتة: $\frac{2}{2 x} = \frac{1}{x}$ ، أي المشتق نفسه لـ $\ln x$ . والسبب أنّ $\ln (2 x) = \ln 2 + \ln x$ ، والفرق بينهما ثابت.
11. ب نعم. وأسهل طريق أن تكتب $f (x) = \frac{1}{2} \ln x$ بقاعدة الدرس الثاني، فيصير المشتق نصف $\frac{1}{x}$ .
12. أ نعم. المبرهنة تنقل الاشتقاق من $u$ إلى $\ln \circ u$ على المجال نفسه، ما دام الشرطان محقّقين عليه.