مشتقّ التابع المركّب ln∘uالتحليل

1القاعدة، وشرطها

والبرهان سطران، لأنّ العمل كلّه قد أُنجز في وحدة الاشتقاق. نطبّق قاعدة اشتقاق التابع المركّب على $f=\ln \circ u$: المشتق الخارجيّ مضروباً في المشتق الداخليّ. والمشتق الخارجيّ هو ${\ln }^{\mathrm{\prime }}$ محسوباً عند $u(x)$، أي ${\displaystyle \frac{1}{u(x)}}$.

🚨 الشرط $u>0$ على $I$ هو الموضع الذي يطبعه الكتاب بلونٍ مختلف، وهو الوحيد في السطر كلّه. من دونه لا وجود للتابع أصلاً، فلا معنى للسؤال عن مشتقّه. اكتب الشرط قبل الاشتقاق لا بعده، لأنّ السلّم يعطي عليه درجةً مستقلّة.

احفظ الصيغة بجملةٍ واحدة: مشتق الداخل على الداخل. البسط هو مشتق ما داخل اللوغاريتم، والمقام هو ما داخله من دون تغيير. ومن كتب ${\displaystyle \frac{1}{u(x)}}$ وحدها فقد نسي المشتق الداخليّ، وهذا أشيع خطأ في هذا الدرس.

2وماذا لو كان الداخل سالباً تماماً؟

قد تلقى تابعاً سالباً تماماً على مجالٍ، فلا تستطيع كتابة $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(u(x))$. الحلّ أن تأخذ $-u$، وهو موجبٌ تماماً هناك، فيصير التابع $f(x)=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(-u(x))$ اشتقاقيّاً على المجال نفسه.

والنتيجة هي المفاجأة الصغيرة في هذا الدرس: الإشارتان السالبتان تحذفان إحداهما الأخرى، فالصيغة تبقى كما هي. أي أنّك تكتب مشتق الداخل على الداخل في الحالتين، ولا تحتاج إلى صيغةٍ ثانية تحفظها.

لكن لا تخلط بين الصيغة والشرط. الصيغة واحدة في الحالتين، أمّا الكتابة فتختلف: في الحالة الأولى تكتب $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(u(x))$ وفي الثانية $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(-u(x))$. ومن كتب $-{\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x)}}$ في الحالة السالبة فقد أضاف إشارةً ليست هناك.

3مثال محلول