شو يعني نهاية تابع؟ ببساطة

أكثر سؤالٍ بيوقف الطالب بأوّل درس من التحليل: شو يعني نهاية تابع؟ والجواب أبسط ممّا يبدو، بس لازم ننتبه لشي واحد: النهاية ما بتسأل عن قيمة التابع عند النقطة.

تذكّر: السؤال ليس: ما قيمة التابع عند $a$؟ السؤال هو: إلى أين تقترب قيم $f(x)$ حين تقترب $x$ من $a$؟

خُذ هذا المثال. التابع $f$ معرّف بالعلاقة $f(x)=x+1$ من أجل كلّ $x$ يخالف $2$، وعند $2$ نفسها التابع غير معرّف أصلاً.

خلّينا نقرّب من $2$ من الجهتين ونشوف شو بيصير. من اليسار: $f(\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->9})=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->9}$ ثمّ $f(\mathrm{1<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->9})=\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->9<!--\; -->9}$. ومن اليمين: $f(\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->1})=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->1}$ ثمّ $f(\mathrm{2<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->1})=\mathrm{3<!--\; -->.<!--\; -->0<!--\; -->1}$. القيم من الجهتين تقترب من العدد $3$، ونكتب:

والمهمّ هنا: التابع غير معرّف عند $2$، ومع ذلك النهاية موجودة وتساوي $3$. النهاية تصف ما يحصل قرب النقطة، لا ما يحصل فيها.

انتبه: الانتباه المعاكس مهمّ أيضاً: إن كان التابع معرّفاً عند $a$ ووُجدت نهايته هناك، فهي بالضرورة $f(a)$. هذا نصّ الكتاب في صفحة 26، والمجموعة التي يتكلّم عنها التعريف هي $D_f\cap ]a-\delta ,a+\delta [$، وفيها النقطة $a$ نفسها. فلا تقل «النهاية شيء والقيمة شيء آخر» على إطلاقه.

تذكّر: سؤالان منفصلان عند النقطة $a$: هل $f(a)$ موجود؟ وهل النهاية موجودة؟ قد يوجد أحدهما دون الآخر. أمّا إن وُجدا معاً، فهما متساويان.

هذا كلّ ما تحتاجه لتفهم الفكرة. الباقي، أي حساب النهايات وصيغ عدم التعيين والنهايات من جهةٍ واحدة، مبنيٌّ كلّه على هذا السؤال البسيط: لوين عم تقرّب القيم؟