نهايات مهمّة تتعلّق بالتابع الأسّيالتحليل

ما قيمة ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^x}{x^3}}$؟

• $0$
• $+\mathrm{\infty }$
• 1، لأنّ البسط والمقام يكبران معاً

ما قيمة ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^4{e}^x$؟

• $+\mathrm{\infty }$
• $-\mathrm{\infty }$
• $0$

ما قيمة ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(x-e^x)$؟

• $-\mathrm{\infty }$
• $+\mathrm{\infty }$
• حالة عدم تعيين لا تُحسب

ما قيمة ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2e^x+1}{1+e^x}}$؟

• $2$
• $1$
• حالة عدم تعيين من النمط $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$، فلا نهاية

ما قيمة ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(e^x-x^2)$؟

• $-\mathrm{\infty }$
• $0$
• $+\mathrm{\infty }$

ليكن $f(x)=e^{-x}+x-2$. ما المقارب للخطّ البياني $C$ في جوار $+\mathrm{\infty }$؟

• المستقيم $y=0$، لأنّ $e^{-x}\to 0$
• المستقيم المائل $d:y=x-2$
• لا مقارب، لأنّ $f$ يسعى إلى $+\mathrm{\infty }$

ولنفس التابع: أين يقع $C$ بالنسبة إلى $d$؟

• فوقه عند كلّ عددٍ حقيقيّ
• لا يمكن تحديد ذلك من النهاية
• فوقه بعد نقطة تقاطعٍ واحدة وتحته قبلها

ولنفسه: ما إشارة $f^{\mathrm{\prime }}(x)$؟

• موجبةٌ عند كلّ $x$، لأنّ $e^{-x}>0$
• سالبةٌ عند كلّ $x$، لأنّ ${\left(e^{-x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-e^{-x}$
• إشارة $x$ نفسها: سالبةٌ قبل الصفر وموجبةٌ بعده

ولنفسه: لإثبات أنّ للمعادلة $f(x)=0$ حلّين، نقسم $\mathbb{R}$ إلى مجالَي الاطّراد، منفصلَين ويغطّيان $\mathbb{R}$ كلّه. أيّ تقسيمٍ يحقّق ذلك؟

• $]-\mathrm{\infty },0]$ و $[0,+\mathrm{\infty }[$
• $]-\mathrm{\infty },0[$ و $[0,+\mathrm{\infty }[$
• $]-\mathrm{\infty },0[$ و $]0,+\mathrm{\infty }[$