بعض قواعد حساب التوابع الأصليّةالتحليل

1الجدول الأوّل، توابع مألوفة

في الاشتقاق كانت لديك قواعد تُطبَّق على أيّ تابع: مشتقّ الجداء، مشتقّ الخارج، مشتقّ المركّب. في حساب التابع الأصليّ لا توجد قاعدةٌ من هذا النوع، ولا خوارزميّة تُنفَّذ على تابعٍ كيفما كان. السؤال الوحيد هو: أيّ تابعٍ مشتقّه هو التابع الذي أمامي؟ ولهذا فإنّ الجدول الآتي ليس جدولاً جديداً تحفظه، بل جدول مشتقّات التوابع المألوفة وقد بُدِّل عمودَاه. تحقّق من كلّ سطرٍ بنفسك: اشتقّ $F$، فيظهر $f$.

انظر إلى أسطر القوى الثلاثة. الصيغة فيها واحدة، ${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}$، والشرط مختلفٌ ثلاث مرّات، والمجال معه. $n$ طبيعيّ يعطيك $\mathbb{R}$ كلّه. $n$ صحيحٌ أصغر تماماً من $-1$ يجبرك على أحد نصفي المستقيم، لأنّ $x^n$ غير معرّفٍ عند الصفر. و $\alpha$ حقيقيّ يضيّق المجال إلى $]0,+\mathrm{\infty }[$ وحده، لأنّ $x^{\alpha }$ معرّفٌ عندئذٍ بالكتابة $e^{\alpha \ln x}$، وهذه تحتاج $x$ موجباً تماماً. ثلاثة أسطر، ثلاث مجموعاتٍ عدديّة، ثلاثة مجالات. والسطران الأوّلان لا يتداخلان: الأوّل يغطّي $n\ge 0$ والثاني $n\le -2$.

لا سطر من هذه الثلاثة يشمل $n=-1$، ولا يمكن أن يشمله: المقام $n+1$ يصير صفراً. تابعٌ أصليّ للتابع $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ هو اللوغاريتم، لا قوّة. وهذا خطأٌ صامت: تكتب ${\displaystyle \frac{x^0}{0}}$ ولا يوقفك شيءٌ إلّا انتباهك.

2الجمع والضرب بعددٍ ثابت

الجدول وحده لا يكفي، لأنّ ما يُطلب في التمارين ليس سطراً من الجدول بل مجموعُ أسطرٍ ومضاعفاتها. والمبرهنة الآتية تقول إنّ هذين العملين يمرّان من دون مقاومة، تماماً كما يمرّان في الاشتقاق. والسبب واحد: التابع الأصليّ مُعرَّفٌ بالاشتقاق، والاشتقاق خطّيّ. لاحظ ما ليس فيها: لا شيء عن الجداء ولا عن الخارج. لا توجد قاعدةٌ تعطي تابعاً أصليّاً لجداء تابعين من تابعيهما الأصليّين، والدرس الثالث سيأتي بحيلةٍ لبعض الحالات، لا بقاعدةٍ عامّة.

كيف نجد تابعاً أصليّاً لكثير حدودٍ على $\mathbb{R}$؟ يكفي أن نحسب تابعاً أصليّاً لكلّ حدٍّ من حدوده، ثمّ نجمع. هذا كلّ شيء، ولا حالة خاصّة فيه.

3الجدول الثاني، حين يكون هناك تابعٌ داخليّ

الجدول الأوّل ينفع ما دام التابع مألوفاً كما هو. لكنّ ما يُطلب فعلاً يكون غالباً مركّباً: لوغاريتمٌ لكثير حدود، أُسّيٌّ لمربّع، جذرٌ لثلاثيّ حدود. ولا يمكن أن يوجد جدولٌ يسع كلّ تركيب. الموجود شيءٌ أفضل: قاعدة اشتقاق التابع المركّب مقروءةً بالمقلوب. اشتقاق $F(u)$ يعطي $u^{\mathrm{\prime }}\times f(u)$، إذن كلّ تابعٍ ظهر فيه العاملُ $u^{\mathrm{\prime }}$ يعود إلى الجدول الأوّل. في كلّ أسطر الجدول الآتي، $u$ تابعٌ اشتقاقيّ على مجال $I$.

الأسطر كلّها حالةٌ خاصّة من جملةٍ واحدة يذكرها الكتاب تحت الجدول: إذا كان $F$ تابعاً أصليّاً للتابع $f$ على مجال $I$، وكان $u$ تابعاً اشتقاقيّاً على مجال $J$ ويأخذ قيمه في $I$، كان $F(u)$ تابعاً أصليّاً للتابع $u^{\mathrm{\prime }}\times f(u)$. لاحظ المجالين: $J$ للتابع الداخليّ و $I$ للخارجيّ. هذه الجملة هي المكان الوحيد في الدرس الذي يفصل بينهما.

لا تخلط الجدولين. الأوّل عن توابع بعينها، ولكلّ سطرٍ فيه عمود مجال. الثاني عن أنماط، ولا عمود مجالٍ فيه أصلاً: المجال يأتي من الجملة التي تسبقه ومن شرط السطر نفسه. وأخطر ما في الثاني أنّ العامل $u^{\mathrm{\prime }}$ يجب أن يكون موجوداً فعلاً. مثلاً $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$ ليس من النمط ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$، لأنّ مشتقّ المقام هو $2x$ وليس $1$. ولا يوجد في هذا الدرس ما يعطي تابعاً أصليّاً لهذا التابع.

خذ هذا النمط بجدّيّة: دورة $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->5}$ من البكالوريا كانت كلّها اختياراً من متعدّد، وجاء سؤالها الثلاثون بعشرين درجة على جداءِ عاملٍ من الدرجة الأولى في قوّةٍ لثلاثيّ حدود، أي على نمط مثال الكتاب نفسه. (صورة ذلك البند عندنا غير واضحة تماماً، والنمط مقروء أمّا الأُسّ فمستنتَج بالحساب.) معنى الطلب هناك يأتي في الدرس التالي، أمّا الحساب الذي يقوم عليه فهو هذا السطر بعينه.

4الحيل التي تُرجعك إلى الجدول

ما تقدّم يكفي متى كان التابع على صورة سطرٍ من الجدولين. وأكثر ما يُعطى ليس كذلك في ظاهره، ويصير كذلك بعد خطوةٍ واحدة. الخطوات المستعملة ثلاث، وقد رأيت إحداها: ضبط المعامل الثابت. تبقى اثنتان: القسمة، متى لم تكن درجة البسط أصغر من درجة المقام، والدساتير المثلّثاتيّة، متى ظهرت قوّةٌ لجيبٍ أو تجيب أو جداءُ اثنين منهما.

لم يغب التكامل عن أيّ دورةٍ حديثة قرأناها، إحدى عشرة من إحدى عشرة، وتراوح وزنه بين $\mathrm{1<!--\; -->0}$ درجات و $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->5}$ من أصل $\mathrm{6<!--\; -->0<!--\; -->0}$. لكنّ ما استُعمل من هذين الجدولين قليلٌ على كلّ حال: كثيرات الحدود، و ${\displaystyle \frac{1}{x}}$، و ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$، و $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$، و $e^{ax}$، و $\cos (ax)$. ولم نجد في تلك الدورات ولا مرّةً واحدة ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$ ولا ${\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}$. احفظ الجدولين كاملين لأنّهما قصيران، لكن تدرّب على هذه الستّة.