الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: التكامل المحدّد وحساب المساحة

التكامل والتوابع الأصليّة . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. التابع $f$ مستمرٌّ وموجب على $[a, b]$ . متى نضمن أنّ $\int_{a}^{b} f \geq 0$ ؟
- أ)دائماً، ما دام $f \geq 0$
- ب)متى كان $f$ اشتقاقيّاً أيضاً
- ج)متى كان $a < b$
2. علمنا أنّ $f \leq g$ على $[0, 4]$ . ما الاستنتاج الصحيح؟
- أ) $\int_{0}^{4} f \leq \int_{0}^{4} g$
- ب) $\int_{4}^{0} f \leq \int_{4}^{0} g$
- ج) $∣ \int_{0}^{4} f ∣ \leq ∣ \int_{0}^{4} g ∣$
3. أثبتنا أنّ $\sin t \leq t$ عند $t \geq 0$ . ماذا نحصل عليه بمكاملة الطرفين على $[0, b]$ ؟
- أ) $\cos b \leq \frac{b^{2}}{2}$
- ب) $\sin b \leq \frac{b^{2}}{2}$
- ج) $1 - \cos b \leq \frac{b^{2}}{2}$
4. التابع $f$ مستمرٌّ وموجب على $[a, b]$ مع $b > a$ . ما الذي يساويه $\int_{a}^{b} f$ ؟
- أ)مساحة السطح بين $C_{f}$ ومحور الفواصل والمستقيمين $x = a$ و $x = b$
- ب)طول قوس $C_{f}$ المحصور بين $x = a$ و $x = b$
- ج)متوسّط قيم $f$ على المجال
5. ما مساحة السطح المحدود المحصور بين الخطّ البياني للتابع $f : x \mapsto 4 x (1 - x)$ ومحور الفواصل؟
- أ) $1$
- ب) $\frac{2}{3}$
- ج) $\frac{4}{3}$
6. التابع $f$ سالبٌ على $[a, b]$ مع $b > a$ . ما المساحة؟
- أ) $\int_{a}^{b} f$
- ب) $\int_{a}^{b} (- f)$
- ج) $\int_{b}^{a} (- f)$
7. التابع $f$ يغيّر إشارته داخل $[a, b]$ . ما الصيغة العامّة للمساحة؟
- أ) $∣ \int_{a}^{b} f ∣$
- ب) $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$
- ج) $\int_{a}^{b} f$
8. ما الفرق بين $\int_{a}^{b} f$ و $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$ بلغة الكتاب؟
- أ)الأوّل قياسٌ جبريّ، أي مساحةٌ بإشارة، والثاني المساحة الفعليّة
- ب)لا فرق، فالمساحة موجبة دائماً
- ج)الأوّل مساحة والثاني حجم
9. نريد مساحة السطح بين $C$ والمحور على $[- 2, 1]$ للتابع $f : x \mapsto 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ . ما الخطوة الأولى؟
- أ)تحليل $f$ وإيجاد أصفاره داخل المجال
- ب)حساب $\int_{- 2}^{1} f$ مباشرةً
- ج)إيجاد تابعٍ أصليّ $F$ والتعويض بالحدّين
10. بمتابعة السؤال السابق، وبمعرفة $F (- 2) = - 4$ و $F (0) = 0$ و $F ⁣ (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{32}$ و $F (1) = \frac{1}{2}$ ، ما المساحة؟
- أ) $\frac{9}{2}$
- ب) $\frac{147}{32}$
- ج) $\frac{75}{16}$
11. في أسئلة البكالوريا التي قرأناها، أين يقع طلب المساحة داخل المسألة؟
- أ)في أوّلها، قبل دراسة التابع
- ب)في آخرها، بعد الدراسة والرسم
- ج)بدل الرسم، فمن يحسب المساحة لا يحتاج إلى رسم
12. ما صيغة المساحة المحصورة بين خطّين بيانيّين $C_{f}$ و $C_{g}$ على $[a, b]$ ؟
- أ) $\int_{a}^{b} f - \int_{a}^{b} g$
- ب) $\int_{a}^{b} ∣ f ∣ - \int_{a}^{b} ∣ g ∣$
- ج) $\int_{a}^{b} ∣ f - g ∣$

سلّم التصحيح

1. ج نعم، وهذا الشرط هو الخطأ الوحيد الذي يذكره الكتاب صراحةً في صفحة أخطاء الوحدة. رتّب الحدّين قبل أن تقرأ الإشارة.
2. أ نعم. الحدّان مرتّبان $0 < 4$ ، فالمبرهنة $8$ ② تنطبق مباشرةً. وبرهانها سطر: طبّق ① على الفرق $g - f$ .
3. ج نعم، وهي المتراجحة الثانية من الثلاث. أعِد ترتيبها فتصير $1 - \frac{b^{2}}{2} \leq \cos b$ . وهذه بدورها تصير مُكامَل الخطوة التالية.
4. أ نعم، وهذه هي المبرهنة $9$ . لاحظ أنّ الحدود أربعة: خطّان مستقيمان، محورٌ، وخطٌّ بيانيّ. السطح مغلقٌ بينها.
5. ب نعم. الصفران هما $0$ و $1$ ، والتابع موجبٌ بينهما، فالمساحة $\int_{0}^{1} (4 x - 4 x^{2}) d x = 2 - \frac{4}{3}$ .
6. ب نعم، وهذه هي النتيجة $10$ . والسبب هندسيّ: $C_{- f}$ هو صورة $C_{f}$ بالتناظر بالنسبة إلى محور الفواصل، والتناظر لا يغيّر المساحة.
7. ب نعم، وهذه هي النتيجة $11$ . والقيمة المطلقة داخل التكامل تعني عمليّاً: اقطع عند الأصفار واقلب التابع في القطع السالبة.
8. أ نعم، وهذان مصطلحا الكتاب نفسه على الصفحة $220$ . إن سُئلت عن التكامل فالأوّل، وإن سُئلت عن المساحة فالثاني.
9. أ نعم. $f (x) = x (x + 2) (2 x - 1)$ ، والأصفار $- 2$ و $0$ و $\frac{1}{2}$ ؛ اثنان منها داخل المجال، وعندهما نقطع.
10. ج نعم. القطع هي $4$ ثمّ $\frac{3}{32}$ ثمّ $\frac{19}{32}$ ، ومجموعها $\frac{75}{16}$ . لاحظ أنّ الجواب أكبر من القياس الجبريّ $\frac{9}{2}$ ، وهذا متوقّعٌ كلّما نزل التابع تحت المحور في مكانٍ ما. ولو كان موجباً على المجال كلّه لتساوى العددان.
11. ب نعم، وفي كلّ ما قرأناه. الرسم يسبق المساحة لأنّه هو الذي يريك أين ينقلب الوضع. من يقفز إلى التكامل قبل الرسم يخسر معلومةً كانت بين يديه.
12. ج نعم، والطريقة هي نفسها: ادرس إشارة الفرق، اقطع عند التقاطع، واجمع. والكتاب يضع هذه الصيغة في نشاطٍ خارج الدرس ويبدأها بـ «نقبّل»، أي بلا برهان.