الاستمرارالتحليل

متى نقول إنّ التابع $f$ مستمرّ عند النقطة $a$ من مجموعة تعريفه؟

• حين يكون ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$
• حين يكون ${\lim }_{x\to a}f(x)=0$
• حين يكون $f$ معرّفاً عند $a$

التابع $f$ معرّف بـ $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ من أجل $x\mathrm{\ne }1$، وبـ $f(1)=3$. هل $f$ مستمرّ عند $1$؟

• لا، لأنّ النهاية عند $1$ هي $2$ وهي تخالف $f(1)$
• نعم، لأنّ التابع معرّف عند $1$ وله نهاية عندها
• لا، لأنّ التابع غير معرّف عند $1$

هل التابع $x\mapsto \sqrt{x}$ اشتقاقي عند الصفر؟

• نعم، لأنّه مستمرّ عند الصفر
• لا، لأنّ ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{x}=+\mathrm{\infty }$
• لا، لأنّه غير مستمرّ عند الصفر

ما القول الصحيح عن استمرار التابع $x\mapsto \frac{1}{x-2}$؟

• غير مستمرّ عند $2$
• مستمرّ على $\mathbb{R}$
• مستمرّ على مجموعة تعريفه، أي على $]-\mathrm{\infty },2[$ وعلى $]2,+\mathrm{\infty }[$

التابع $g$ يحقّق ${\lim }_{x\to 3,x<3}g(x)=1$ و ${\lim }_{x\to 3,x>3}g(x)=2$ و $g(3)=1$. هل $g$ مستمرّ عند $3$؟

• نعم، لأنّ النهاية من اليسار تساوي $g(3)$
• لا يمكن الحكم قبل معرفة $g^{\mathrm{\prime }}(3)$
• لا، لأنّه لا نهاية له عند $3$

على أيّ مجموعة يكون التابع $P:x\mapsto x^3-2x+7$ مستمرّاً؟

• على $[0,+\mathrm{\infty }[$
• على $\mathbb{R}$
• على $\mathbb{R}$ ما عدا جذوره

على أيّ مجموعة يكون التابع $f:x\mapsto \sqrt{x^2+4x+5}$ مستمرّاً؟

• على $[-5,-1]$
• على $[0,+\mathrm{\infty }[$ وحده
• على $\mathbb{R}$، لأنّ $(x+2{)}^2+1>0$ دائماً

ماذا تقول مبرهنة 5 بالضبط عن العلاقة بين الاشتقاق والاستمرار؟

• الاستمرار عند نقطة يعطي الاشتقاق عندها
• الاستمرار والاشتقاق متكافئان
• الاشتقاق عند نقطة يعطي الاستمرار عندها

ما وصف التابع $x\mapsto \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ عند الصفر؟

• مستمرّ وغير اشتقاقي
• مستمرّ واشتقاقي
• غير مستمرّ وغير اشتقاقي