ورقة تمارين: الاستمرار

1. متى نقول إنّ التابع $f$ مستمرّ عند النقطة $a$ من مجموعة تعريفه؟

• أ)حين يكون ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$
• ب)حين يكون ${\lim }_{x\to a}f(x)=0$
• ج)حين يكون $f$ معرّفاً عند $a$

2. التابع $f$ معرّف بـ $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ من أجل $x\mathrm{\ne }1$، وبـ $f(1)=3$. هل $f$ مستمرّ عند $1$؟

• أ)لا، لأنّ النهاية عند $1$ هي $2$ وهي تخالف $f(1)$
• ب)نعم، لأنّ التابع معرّف عند $1$ وله نهاية عندها
• ج)لا، لأنّ التابع غير معرّف عند $1$

3. هل التابع $x\mapsto \sqrt{x}$ اشتقاقي عند الصفر؟

• أ)نعم، لأنّه مستمرّ عند الصفر
• ب)لا، لأنّ ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{x}=+\mathrm{\infty }$
• ج)لا، لأنّه غير مستمرّ عند الصفر

4. ما القول الصحيح عن استمرار التابع $x\mapsto \frac{1}{x-2}$؟

• أ)غير مستمرّ عند $2$
• ب)مستمرّ على $\mathbb{R}$
• ج)مستمرّ على مجموعة تعريفه، أي على $]-\mathrm{\infty },2[$ وعلى $]2,+\mathrm{\infty }[$

5. التابع $g$ يحقّق ${\lim }_{x\to 3,x<3}g(x)=1$ و ${\lim }_{x\to 3,x>3}g(x)=2$ و $g(3)=1$. هل $g$ مستمرّ عند $3$؟

• أ)نعم، لأنّ النهاية من اليسار تساوي $g(3)$
• ب)لا يمكن الحكم قبل معرفة $g^{\mathrm{\prime }}(3)$
• ج)لا، لأنّه لا نهاية له عند $3$

6. على أيّ مجموعة يكون التابع $P:x\mapsto x^3-2x+7$ مستمرّاً؟

• أ)على $[0,+\mathrm{\infty }[$
• ب)على $\mathbb{R}$
• ج)على $\mathbb{R}$ ما عدا جذوره

7. على أيّ مجموعة يكون التابع $f:x\mapsto \sqrt{x^2+4x+5}$ مستمرّاً؟

• أ)على $[-5,-1]$
• ب)على $[0,+\mathrm{\infty }[$ وحده
• ج)على $\mathbb{R}$، لأنّ $(x+2{)}^2+1>0$ دائماً

8. ماذا تقول مبرهنة 5 بالضبط عن العلاقة بين الاشتقاق والاستمرار؟

• أ)الاستمرار عند نقطة يعطي الاشتقاق عندها
• ب)الاستمرار والاشتقاق متكافئان
• ج)الاشتقاق عند نقطة يعطي الاستمرار عندها

9. ما وصف التابع $x\mapsto \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ عند الصفر؟

• أ)مستمرّ وغير اشتقاقي
• ب)مستمرّ واشتقاقي
• ج)غير مستمرّ وغير اشتقاقي

10. لماذا يكون التابع $x\mapsto \sin x+\cos x$ مستمرّاً على $\mathbb{R}$؟

• أ)ليس مستمرّاً، لأنّ الجيب متأرجح
• ب)لأنّه مجموع تابعين مستمرّين على $\mathbb{R}$
• ج)لأنّه دوري، وكلّ تابع دوري مستمرّ

11. التابعان $u$ و $v$ مستمرّان عند $a$، و $v(a)=0$. ماذا نقول عن $\frac{u}{v}$ عند $a$؟

• أ)لا يُسأل عن استمراره عند $a$، فهو غير معرّف هناك
• ب)مستمرّ عند $a$، لأنّ البسط والمقام مستمرّان
• ج)مستمرّ عند $a$ إذا كان $u(a)=0$ أيضاً

12. التابع $u$ مستمرّ على $\mathbb{R}$ والتابع $h$ مستمرّ على $\mathbb{R}$. ماذا نقول عن $x\mapsto h(u(x))$؟

• أ)مستمرّ على $\mathbb{R}$
• ب)مستمرّ فقط عند النقاط التي يكون فيها $u(x)=x$
• ج)لا يمكن الحكم قبل معرفة صيغتي التابعين

13. كيف نبرهن أنّ تابعاً مستمرّ عند نقطة $a$؟

• أ)نرسم خطّه البياني ونرى أنّه قطعة واحدة
• ب)نحسب ${\lim }_{x\to a}f(x)$ ونقارنها بـ $f(a)$
• ج)نتحقّق من كونه اشتقاقيّاً، وإن لم يكن اشتقاقيّاً فهو غير مستمرّ

14. ما مجموعة تعريف التابع $f:x\mapsto \sqrt{1-\cos x}$؟

• أ)$\mathbb{R}$، لأنّ $\cos x\le 1$ دائماً
• ب)$[0,+\mathrm{\infty }[$
• ج)الأعداد $x=2k\pi$ وحدها

15. نعلم أنّ ${\lim }_{x\to 1}f(x)=4$ وأنّ $f(1)=4$. ما الحكم؟

• أ)$f$ اشتقاقي عند $1$
• ب)المعطيات لا تكفي للحكم على الاستمرار
• ج)$f$ مستمرّ عند $1$

16. التابع $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ معرّف من أجل $x\mathrm{\ne }2$. بأيّ قيمة نعرّفه عند $2$ ليصير مستمرّاً عندها؟

• أ)بأيّ قيمة نختارها، فالاستمرار مسألة تعريف
• ب)بالقيمة $4$، وهي نهاية التابع عند $2$
• ج)لا يمكن، لأنّ المقام ينعدم عند $2$