المشتقات من مراتب علياالتحليل

ما تعريف المشتق من المرتبة $n$؟

• مشتق التابع $f^{(n-1)}$
• التابع $f$ مضروباً في نفسه $n$ مرّة
• مشتق $f$ مضروباً في $n$

ما $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ للتابع $f(x)=x^5$؟

• $\mathrm{2<!--\; -->0}{x}^3$
• $5x^4$
• $x^{\mathrm{1<!--\; -->0}}$

ما الفرق بين $f^{(2)}$ و $f^2$؟

• لا فرق، الرمزان مترادفان
• الأوّل هو المشتق الثاني والثاني هو مربّع التابع
• الأوّل هو قيمة التابع عند $2$

التابع $f$ اشتقاقيٌّ على $I$. متى يوجد $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ على $I$؟

• دائماً، ما دام $f$ اشتقاقيّاً
• عندما يكون $f$ مستمرّاً
• عندما يكون $f^{\mathrm{\prime }}$ نفسه اشتقاقيّاً على $I$

للتابع $f(x)={\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ وجدنا $f^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{n!}{{(1-x)}^{n+1}}}$. ما $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$؟

• $1$
• $2$
• $6$

بأيّ أسلوبٍ يُثبت الكتاب صيغة المشتق من المرتبة $n$؟

• بحساب المشتقات العشرة الأولى
• بالإثبات بالتدريج
• بالبرهان بالخلف

في خطوة الفرض، ما الذي نشتقّه؟

• الصيغة المفترضة عند المرتبة $n$
• التابع $f$ من جديد
• الطرف الأيمن وحده

ما مشتق ${(1-x)}^{n+1}$؟

• $(n+1){(1-x)}^n$
• $(n+1){(1-x)}^{n+2}$
• $-(n+1){(1-x)}^n$

لماذا يظهر العاملي $n!$ في هذه الصيغ؟

• لأنّ المقام قوّة
• لأنّ التابع كسريّ
• لأنّ كلّ اشتقاقٍ ينزّل الأسّ ويضربه في ما تراكم قبله