المشتق تابعٌ مثل غيره، فما الذي يمنع من اشتقاقه هو أيضاً؟ لا شيء. وهذا كلّ ما في هذا الدرس: نعيد العمليّة على ناتجها، مرّةً وثانية وعاشرة. الدرس أقصر دروس الوحدة، صفحةٌ واحدة في الكتاب، لكنّه ليس زائداً: التابع المشتق الثاني هو ما تحتاجه في وحدة التكامل، وفي المعادلات التفاضليّة في الجزء الثاني. والجديد فيه ليس فكرةً بل رمزاً، ورمزٌ واحد هنا يُفقد الدرجة إن أُسيء قراءته.
الاشتقاق يُعاد على نفسه
ليكن تابعاً اشتقاقيّاً على مجالٍ . نسمّي تابعَه المشتقّ التابعَ المشتقّ الأوّل، أو المشتقّ من المرتبة الأولى. وعندما يكون نفسه اشتقاقيّاً على ، نسمّي مشتقّه المشتقَّ الثاني، أو المشتقّ من المرتبة الثانية.
تعريف 4
- المشتق من المرتبة الأولى، وهو ما نعرفه من الدروس السابقة.
- المشتق من المرتبة الثانية، بشرط أن يكون اشتقاقيّاً على .
- أيّاً كان العدد الطبيعي . تعريفٌ تدريجيّ: كلّ مرتبة تُعرَّف بالتي قبلها.
الكتاب المدرسي، صفحة 83
لاحظ أنّ كلّ مرتبة تشترط ما قبلها: لا وجود لمشتقٍّ ثالث ما لم يكن الثاني موجوداً واشتقاقيّاً. وليس كلّ تابعٍ اشتقاقيّاً مرّتين؛ التابع مثلاً اشتقاقيٌّ على ومشتقّه ، وهو غير اشتقاقيٍّ عند الصفر.
جرّب بنفسك
ما للتابع ؟
الرمز، وأين يُخلط
يقدّم الكتاب صيغتين للرمز نفسه: الشرطات و ، والرقم بين قوسين و . الأولى أوضح في المراتب الصغيرة، والثانية هي الوحيدة الصالحة عندما تكبر المرتبة، إذ لا أحد يكتب عشر شرطات.
🚨 والقوسان حول الرقم ليسا زينة، بل هما ما يفرّق بين شيئين مختلفين تماماً. هو المشتق الثاني، و هو مربّع التابع. اكتب القوسين دائماً، فإسقاطهما يحوّل جوابك إلى شيء آخر ولا يُقرأ على أنّه سهو.
وبالمثل ليس . الشرطة الثانية تعني اشتقاقاً ثانياً، لا ضرباً في نفسه.
جرّب بنفسك
ماذا يعني الرمز ؟
مثال محلول: صيغةٌ لكلّ مرتبة
المطلوب في المسائل نادراً ما يكون مشتقّاً ثانياً بعينه، بل صيغةً عامّة تصلح لكلّ مرتبة. وهنا يلتقي هذا الدرس بأداةٍ تعرفها من الوحدة الأولى: الإثبات بالتدريج.
الحلّ خطوة بخطوة
1 من 5هذا مثال الكتاب على الصفحة . المطلوب إثبات أنّ المشتق من المرتبة يُعطى بالصيغة في حالة . ليكن التابع المعرّف على .
المطلوب
الخاصّة التي نُثبتها
نسمّي العبارةَ الآتية، ونثبتها بالتدريج على .
جرّب بنفسك
للتابع وجدنا . ما ؟
لماذا هذا الدرس أصلاً
الدرس صفحةٌ واحدة ولا «تَدرَّبْ» له، فمن السهل أن يُقرأ ويُنسى. لكنّه يعود في ثلاثة مواضع لاحقة، وفي كلٍّ منها يكون شرطاً لا زينة.
في وحدة التكامل يظهر السؤال معكوساً: بدل أن تشتقّ، تبحث عن تابعٍ مشتقّه معطى. ومن لم يعتد على أنّ الاشتقاق يُعاد على نفسه، لا يقرأ ذلك السؤال بسهولة.
وفي المعادلات التفاضليّة في الجزء الثاني تظهر المشتقات الثانية في المعادلة نفسها، لا في الحلّ. هناك يصير مجهولاً تعمل عليه، لا نتيجةً تحسبها.
وأخيراً في دراسة التوابع: إشارة المشتق الأوّل تعطي الاطراد كما رأينا في الدرس الثالث، وإشارة المشتق الثاني تعطي تقعّر الخطّ البياني. الكتاب لا يتناول التقعّر في هذه الوحدة، فلا تفترضه في جوابك، لكن اعرف أنّ الأداة موجودة ومن هنا تأتي.