الرياضيات، البكالوريا، الفرع العلمي

ورقة تمارين: المشتقات من مراتب عليا

التوابع: الاشتقاق . 12 أسئلة . اختر إجابة واحدة لكل سؤال

1. ما تعريف المشتق من المرتبة $n$ ؟
- أ)مشتق التابع $f^{(n - 1)}$
- ب)التابع $f$ مضروباً في نفسه $n$ مرّة
- ج)مشتق $f$ مضروباً في $n$
2. ما $f^{''}$ للتابع $f (x) = x^{5}$ ؟
- أ) $20 x^{3}$
- ب) $5 x^{4}$
- ج) $x^{10}$
3. ما الفرق بين $f^{(2)}$ و $f^{2}$ ؟
- أ)لا فرق، الرمزان مترادفان
- ب)الأوّل هو المشتق الثاني والثاني هو مربّع التابع
- ج)الأوّل هو قيمة التابع عند $2$
4. التابع $f$ اشتقاقيٌّ على $I$ . متى يوجد $f^{''}$ على $I$ ؟
- أ)دائماً، ما دام $f$ اشتقاقيّاً
- ب)عندما يكون $f$ مستمرّاً
- ج)عندما يكون $f^{'}$ نفسه اشتقاقيّاً على $I$
5. للتابع $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ وجدنا $f^{(n)} (x) = \frac{n!}{{(1 - x)}^{n + 1}}$ . ما $f^{''} (0)$ ؟
- أ) $1$
- ب) $2$
- ج) $6$
6. بأيّ أسلوبٍ يُثبت الكتاب صيغة المشتق من المرتبة $n$ ؟
- أ)بحساب المشتقات العشرة الأولى
- ب)بالإثبات بالتدريج
- ج)بالبرهان بالخلف
7. في خطوة الفرض، ما الذي نشتقّه؟
- أ)الصيغة المفترضة عند المرتبة $n$
- ب)التابع $f$ من جديد
- ج)الطرف الأيمن وحده
8. ما مشتق ${(1 - x)}^{n + 1}$ ؟
- أ) $(n + 1) {(1 - x)}^{n}$
- ب) $(n + 1) {(1 - x)}^{n + 2}$
- ج) $- (n + 1) {(1 - x)}^{n}$
9. لماذا يظهر العاملي $n!$ في هذه الصيغ؟
- أ)لأنّ المقام قوّة
- ب)لأنّ التابع كسريّ
- ج)لأنّ كلّ اشتقاقٍ ينزّل الأسّ ويضربه في ما تراكم قبله
10. أين يعود المشتق الثاني في وحداتٍ لاحقة؟
- أ)في وحدة التكامل وفي المعادلات التفاضليّة
- ب)في وحدة الأعداد العقديّة
- ج)في وحدة التحليل التوافقي
11. ما $f^{(4)}$ للتابع $f (x) = x^{3}$ ؟
- أ) $6$
- ب) $0$
- ج) $24 x$
12. المشتق الثاني لتابعٍ يعطي معلومةً عن خطّه البياني. أيّها؟
- أ)الاطراد
- ب)مجموعة التعريف
- ج)التقعّر

سلّم التصحيح

1. أ نعم، تعريفٌ تدريجيّ: كلّ مرتبة تُعرَّف بالتي قبلها.
2. أ نعم: $f^{'} = 5 x^{4}$ ثمّ $f^{''} = 20 x^{3}$ .
3. ب نعم، والقوسان ليسا زينة. إسقاطهما يغيّر معنى الجواب.
4. ج نعم، وكلّ مرتبة تشترط وجود التي قبلها واشتقاقها.
5. ب نعم: $\frac{2!}{{(1 - 0)}^{3}} = 2$ .
6. ب نعم، وهو الأسلوب المناسب لكلّ عبارةٍ تتعلّق بعددٍ طبيعيّ $n$ .
7. أ نعم، ومن اشتقاقها نصل إلى صيغة المرتبة $n + 1$ .
8. ج نعم، بالنتيجة 7 مع مشتق الداخليّ $- 1$ .
9. ج نعم، ومن ضرب $1 \times 2 \times 3 \times \dots$ يأتي العاملي.
10. أ نعم، وهناك يصير شرطاً لا زينة، ولهذا لا تُستغنى هذه الصفحة الواحدة.
11. ب نعم: $3 x^{2}$ ثمّ $6 x$ ثمّ $6$ ثمّ $0$ . كثير الحدود من الدرجة $n$ تنعدم مشتقاته من المرتبة $n + 1$ فصاعداً.
12. ج نعم، وإن كان الكتاب لا يتناوله في هذه الوحدة، فلا تفترضه في جوابك هنا.