خواص طويلة عدد عقدي وزاويتهالأعداد العقديّة

1الضرب يجمع الزوايا

لنأخذ عددين غير معدومين، ونكتب كلّاً منهما بشكله المثلّثي: $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ و $z^{\mathrm{\prime }}=r^{\mathrm{\prime }}(\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}+i\sin {\theta }^{\mathrm{\prime }})$، حيث $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ و $\theta =\arg z$، وكذلك $r^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ و ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=\arg z^{\mathrm{\prime }}$.

نضربهما كما نضرب أيّ قوسين، ثمّ نضع $i^2=-1$ ونرتّب الحدود: الحقيقية معاً والتخيلية معاً.

انظر إلى القوسين الداخليين. الأوّل هو تماماً $\cos (\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})$، والثاني هو $\sin (\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})$، وهما دستورا الجمع اللذان تعرفهما من المثلّثات. هنا يظهر سبب هذا الدرس كلّه: الضرب في $\mathbb{C}$ يستدعي دستوري الجمع، فتتحوّل الزوايا من ضرب إلى جمع.

بقيت خطوة صغيرة لا تتخطّاها: هل هذه الكتابة شكل مثلّثي؟ نعم، لأنّ $r>0$ و $r^{\mathrm{\prime }}>0$، فجداؤهما $r{r}^{\mathrm{\prime }}$ موجب تماماً. ولهذا يحقّ لنا أن نقرأ منه الطويلة والزاوية مباشرة.

مثال الكتاب: ليكن $z=2(\cos \frac{\pi }{5}+i\sin \frac{\pi }{5})$ و $z^{\mathrm{\prime }}=3(\cos (-\frac{\pi }{4})+i\sin (-\frac{\pi }{4}))$. لا نفكّ شيئاً: نضرب $2$ في $3$، ونجمع $\frac{\pi }{5}$ مع $-\frac{\pi }{4}$.

الطويلات تُضرب، والزوايا تُجمع. لا تخلط بين العمليتين: من يجمع $2$ و $3$ ليحصل على $5$ يكون قد طبّق قاعدة الزوايا على الطويلات.

2القوى ودستور دوموافر

ماذا لو ضربنا العدد بنفسه؟ نطبّق المبرهنة السابقة على $z\times z$: الطويلة تصير $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$ والزاوية تصير $2\arg z$. ثمّ نضرب بـ $z$ مرّة ثالثة فنحصل على $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^3$ و $3\arg z$، وهكذا. الكتاب يثبّت هذا بالتدريج على العدد الطبيعي $n$.

وإذا كتبنا العدد بشكله المثلّثي $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$، صارت النتيجة نفسها بصيغة أوضح للاستعمال:

وللحالة الخاصّة التي تكون فيها الطويلة تساوي $1$، أي $r=1$، يبقى الجزء الزاوي وحده. هذه الصيغة تحمل اسماً خاصّاً في الكتاب: دستور دوموافر.

الأس يذهب إلى الطويلة، وإلى الزاوية يذهب الضرب. من يكتب $\arg (z^3)=(\arg z{)}^3$ يكون قد بدّل العمليتين. وكذلك $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n$ لا تساوي ${\cos }^n\theta +i{\sin }^n\theta$: الأس على القوس كلّه، لا على كل حدّ وحده.

3القسمة تطرح الزوايا

لا يعيد الكتاب الحساب من جديد للقسمة، بل يستعمل حيلة تستحقّ الانتباه: نسمّي الخارج $w=\frac{z}{z^{\mathrm{\prime }}}$، فيكون $z=w{z}^{\mathrm{\prime }}$. صار عندنا جداء، والجداء نعرف قاعدته.

نطبّق مبرهنة 4 على $z=w{z}^{\mathrm{\prime }}$، فنحصل على $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }\times \mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ وعلى $\arg z=\arg w+\arg z^{\mathrm{\prime }}(2\pi )$. يبقى أن نعزل $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$ و $\arg w$، أي أن نقسم في الأولى ونطرح في الثانية.

مثال الكتاب: ليكن $z=4(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})$ و $z^{\mathrm{\prime }}=\frac{3}{2}(\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6}))$. انتبه إلى الإشارتين في الطرح: زاوية المقام سالبة، وطرح السالب جمع.

المقلوب $\frac{1}{w}$ يقلب الطويلة ويعكس الزاوية. لاحظ أنّ زاويته هي زاوية المرافق نفسها، ولذلك يلتقي هذا الدرس بما رأيناه عن $\bar{z}$.

4لماذا لا تُجمع الطويلات

حتّى الآن تسير الأمور على ما يُرام: الطويلة تنسجم مع الضرب ومع القسمة. لكنّ الكتاب يقف هنا وقفة تحت عنوان تكريساً للفهم، ليقول ما لا تفعله الطويلة.

طويلة مجموع عددين لا تساوي مجموع الطويلتين. هذه ليست حالة نادرة أو استثناء صغير، بل هي الحال العامّة، والمساواة هي الاستثناء.

الدليل مثال واحد يكفي، وهو مثال الكتاب: خذ $z$ غير معدوم واختر $z^{\mathrm{\prime }}=-z$. المجموع ينعدم، بينما مجموع الطويلتين موجب تماماً.

إذاً ما الذي يبقى صحيحاً؟ يبقى اتّجاه واحد فقط، وله اسم: متراجحة المثلّث. الطويلة قد تكون أصغر، وقد تساوي، لكنّها لا تزيد أبداً.

الشكل يقرأ المتراجحة بلغة الهندسة: $O{M}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\le OM+O{M}^{\mathrm{\prime }}$، أي أنّ ضلعاً في مثلّث لا يزيد على مجموع الضلعين الآخرين. من هنا جاء الاسم.

المساواة $\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ لا تصير صحيحة إلّا حين يكون للعددين الاتّجاه نفسه، أو حين ينعدم أحدهما، أي حين لا يوجد مثلّث أصلاً بل قطعة واحدة.

وفي فقرة أخطاء يجب تجنّبها في آخر الوحدة يقول الكتاب: لا تُستعمل المتراجحات بين أعداد عقدية. العبارة $z<z^{\mathrm{\prime }}$ لا معنى لها في $\mathbb{C}$. ما يُقارن هو الطويلات وحدها، لأنّها أعداد حقيقية موجبة، فتكتب $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$.

5مثال محلول: قوّة وكسر

هذا هو المثال الذي يختم به الكتاب الدرس، وهو تمرين امتحاني نموذجي: المطلوب الشكل الجبري لكلّ من العددين. جرّب أن تتخيّل فكّ $(1-i\sqrt{3}{)}^5$ بالتوزيع، ثمّ تابع الحلّ.

6متى تصلح هذه القواعد

قبل أن تغلق الدرس، انتبه إلى شرطين صغيرين يسقطان كثيراً في الامتحان، وكلاهما مكتوب في نصّ المبرهنتين.

الشرط الأوّل: العددان غير معدومين. الطويلة $\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }=0$ معرّفة تماماً ولا مشكلة فيها، لكن $\arg 0$ غير معرّفة، لأنّ المبدأ لا يحدّد اتّجاهاً. فكل سطر فيه $\arg$ يفترض ضمناً أنّ العدد غير معدوم.

الشرط الثاني: القوس $(2\pi )$ في نهاية كل سطر عن الزاوية جزء من العبارة. $\arg (z{z}^{\mathrm{\prime }})=\arg z+\arg z^{\mathrm{\prime }}(2\pi )$ لا تعني تساوياً بين عددين، بل بين صنفين. لهذا يحقّ لك أن تضيف أو تطرح دورة كاملة لتُرجع الزاوية إلى مجال مألوف، كما فعلنا في المثال حين صارت $-\frac{5\pi }{3}$ هي $\frac{\pi }{3}$.

وهذه القواعد الأربع مجتمعة، كما مرّت في الدرس. الثلاث الأولى مساواة، والرابعة متراجحة، وهذا الفرق بالذات هو ما يُسأل عنه:

الفكرة التي تحمل بقيّة الوحدة: الضرب بعدد عقدي هو تكبير بطويلته ودوران بزاويته. الدرس القادم سيكتب هذه الفكرة بصيغة أقصر بعد، هي الشكل الأسّي.