خواص طويلة عدد عقدي وزاويته

الضرب يجمع الزوايا

لنأخذ عددين غير معدومين، ونكتب كلّاً منهما بشكله المثلّثي: $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ و $z^{\mathrm{\prime }}=r^{\mathrm{\prime }}(\cos {\theta }^{\mathrm{\prime }}+i\sin {\theta }^{\mathrm{\prime }})$، حيث $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ و $\theta =\arg z$، وكذلك $r^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ و ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=\arg z^{\mathrm{\prime }}$.

نضربهما كما نضرب أيّ قوسين، ثمّ نضع $i^2=-1$ ونرتّب الحدود: الحقيقية معاً والتخيلية معاً.

انظر إلى القوسين الداخليين. الأوّل هو تماماً $\cos (\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})$، والثاني هو $\sin (\theta +{\theta }^{\mathrm{\prime }})$، وهما دستورا الجمع اللذان تعرفهما من المثلّثات. هنا يظهر سبب هذا الدرس كلّه: الضرب في $\mathbb{C}$ يستدعي دستوري الجمع، فتتحوّل الزوايا من ضرب إلى جمع.

بقيت خطوة صغيرة لا تتخطّاها: هل هذه الكتابة شكل مثلّثي؟ نعم، لأنّ $r>0$ و $r^{\mathrm{\prime }}>0$، فجداؤهما $r{r}^{\mathrm{\prime }}$ موجب تماماً. ولهذا يحقّ لنا أن نقرأ منه الطويلة والزاوية مباشرة.

مثال الكتاب: ليكن $z=2(\cos \frac{\pi }{5}+i\sin \frac{\pi }{5})$ و $z^{\mathrm{\prime }}=3(\cos (-\frac{\pi }{4})+i\sin (-\frac{\pi }{4}))$. لا نفكّ شيئاً: نضرب $2$ في $3$، ونجمع $\frac{\pi }{5}$ مع $-\frac{\pi }{4}$.

تذكّر: الطويلات تُضرب، والزوايا تُجمع. لا تخلط بين العمليتين: من يجمع $2$ و $3$ ليحصل على $5$ يكون قد طبّق قاعدة الزوايا على الطويلات.

القوى ودستور دوموافر

ماذا لو ضربنا العدد بنفسه؟ نطبّق المبرهنة السابقة على $z\times z$: الطويلة تصير $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$ والزاوية تصير $2\arg z$. ثمّ نضرب بـ $z$ مرّة ثالثة فنحصل على $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^3$ و $3\arg z$، وهكذا. الكتاب يثبّت هذا بالتدريج على العدد الطبيعي $n$.

وإذا كتبنا العدد بشكله المثلّثي $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$، صارت النتيجة نفسها بصيغة أوضح للاستعمال:

وللحالة الخاصّة التي تكون فيها الطويلة تساوي $1$، أي $r=1$، يبقى الجزء الزاوي وحده. هذه الصيغة تحمل اسماً خاصّاً في الكتاب: دستور دوموافر.

انتبه: الأس يذهب إلى الطويلة، وإلى الزاوية يذهب الضرب. من يكتب $\arg (z^3)=(\arg z{)}^3$ يكون قد بدّل العمليتين. وكذلك $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n$ لا تساوي ${\cos }^n\theta +i{\sin }^n\theta$: الأس على القوس كلّه، لا على كل حدّ وحده.

القسمة تطرح الزوايا

لا يعيد الكتاب الحساب من جديد للقسمة، بل يستعمل حيلة تستحقّ الانتباه: نسمّي الخارج $w=\frac{z}{z^{\mathrm{\prime }}}$، فيكون $z=w{z}^{\mathrm{\prime }}$. صار عندنا جداء، والجداء نعرف قاعدته.

نطبّق مبرهنة 4 على $z=w{z}^{\mathrm{\prime }}$، فنحصل على $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }\times \mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ وعلى $\arg z=\arg w+\arg z^{\mathrm{\prime }}(2\pi )$. يبقى أن نعزل $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$ و $\arg w$، أي أن نقسم في الأولى ونطرح في الثانية.

مثال الكتاب: ليكن $z=4(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})$ و $z^{\mathrm{\prime }}=\frac{3}{2}(\cos (-\frac{\pi }{6})+i\sin (-\frac{\pi }{6}))$. انتبه إلى الإشارتين في الطرح: زاوية المقام سالبة، وطرح السالب جمع.

تذكّر: المقلوب $\frac{1}{w}$ يقلب الطويلة ويعكس الزاوية. لاحظ أنّ زاويته هي زاوية المرافق نفسها، ولذلك يلتقي هذا الدرس بما رأيناه عن $\bar{z}$.

لماذا لا تُجمع الطويلات

حتّى الآن تسير الأمور على ما يُرام: الطويلة تنسجم مع الضرب ومع القسمة. لكنّ الكتاب يقف هنا وقفة تحت عنوان تكريساً للفهم، ليقول ما لا تفعله الطويلة.

انتبه: طويلة مجموع عددين لا تساوي مجموع الطويلتين. هذه ليست حالة نادرة أو استثناء صغير، بل هي الحال العامّة، والمساواة هي الاستثناء.

الدليل مثال واحد يكفي، وهو مثال الكتاب: خذ $z$ غير معدوم واختر $z^{\mathrm{\prime }}=-z$. المجموع ينعدم، بينما مجموع الطويلتين موجب تماماً.

إذاً ما الذي يبقى صحيحاً؟ يبقى اتّجاه واحد فقط، وله اسم: متراجحة المثلّث. الطويلة قد تكون أصغر، وقد تساوي، لكنّها لا تزيد أبداً.

الشكل يقرأ المتراجحة بلغة الهندسة: $O{M}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\le OM+O{M}^{\mathrm{\prime }}$، أي أنّ ضلعاً في مثلّث لا يزيد على مجموع الضلعين الآخرين. من هنا جاء الاسم.

تذكّر: المساواة $\mathrm{\mid }z+z^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$ لا تصير صحيحة إلّا حين يكون للعددين الاتّجاه نفسه، أو حين ينعدم أحدهما، أي حين لا يوجد مثلّث أصلاً بل قطعة واحدة.

انتبه: وفي فقرة أخطاء يجب تجنّبها في آخر الوحدة يقول الكتاب: لا تُستعمل المتراجحات بين أعداد عقدية. العبارة $z<z^{\mathrm{\prime }}$ لا معنى لها في $\mathbb{C}$. ما يُقارن هو الطويلات وحدها، لأنّها أعداد حقيقية موجبة، فتكتب $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{z}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }$.

مثال محلول: قوّة وكسر

هذا هو المثال الذي يختم به الكتاب الدرس، وهو تمرين امتحاني نموذجي: المطلوب الشكل الجبري لكلّ من العددين. جرّب أن تتخيّل فكّ $(1-i\sqrt{3}{)}^5$ بالتوزيع، ثمّ تابع الحلّ.

متى تصلح هذه القواعد

قبل أن تغلق الدرس، انتبه إلى شرطين صغيرين يسقطان كثيراً في الامتحان، وكلاهما مكتوب في نصّ المبرهنتين.

الشرط الأوّل: العددان غير معدومين. الطويلة $\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }=0$ معرّفة تماماً ولا مشكلة فيها، لكن $\arg 0$ غير معرّفة، لأنّ المبدأ لا يحدّد اتّجاهاً. فكل سطر فيه $\arg$ يفترض ضمناً أنّ العدد غير معدوم.

انتبه: الشرط الثاني: القوس $(2\pi )$ في نهاية كل سطر عن الزاوية جزء من العبارة. $\arg (z{z}^{\mathrm{\prime }})=\arg z+\arg z^{\mathrm{\prime }}(2\pi )$ لا تعني تساوياً بين عددين، بل بين صنفين. لهذا يحقّ لك أن تضيف أو تطرح دورة كاملة لتُرجع الزاوية إلى مجال مألوف، كما فعلنا في المثال حين صارت $-\frac{5\pi }{3}$ هي $\frac{\pi }{3}$.

وهذه القواعد الأربع مجتمعة، كما مرّت في الدرس. الثلاث الأولى مساواة، والرابعة متراجحة، وهذا الفرق بالذات هو ما يُسأل عنه:

تذكّر: الفكرة التي تحمل بقيّة الوحدة: الضرب بعدد عقدي هو تكبير بطويلته ودوران بزاويته. الدرس القادم سيكتب هذه الفكرة بصيغة أقصر بعد، هي الشكل الأسّي.