خواص التابع الأسّيالتحليل

1ستّ قواعد للحساب

كلّ ما في هذا المقطع يخرج من جملةٍ واحدة: التابع $\exp$ هو التقابل العكسي للتابع $\ln$. ولأنّ $\ln$ يحوّل الضرب إلى جمع، فإنّ معكوسه يحوّل الجمع إلى ضرب.

والباقي يتساقط من هذه الواحدة. ضع $b=-a$ فتحصل على $e^a{e}^{-a}=e^0=1$، ومنه المقلوب. وعوّض $-b$ مكان $b$ فتحصل على القسمة. والقاعدة الخامسة بالتدريج، والسادسة بوضع كلّ الأعداد متساوية في الخامسة.

2القوّة بأُسٍّ حقيقيّ

حتّى الآن كنت ترفع عدداً إلى أُسٍّ صحيح، وتعرف ما يعنيه $2^3$: جداء ثلاثة عوامل. لكن ما معنى $2^{\sqrt{2}}$؟ لا يمكنك ضرب العدد $2$ في نفسه $\sqrt{2}$ مرّة. هنا يفتح التابع الأسّي الباب.

🚨 وهنا سؤالٌ يجب أن يخطر لك: إذا كان $a^x$ تعريفاً جديداً، فهل يوافق ما تعرفه عن القوى الصحيحة؟ أي هل $2^3$ بالتعريف الجديد يساوي $2\times 2\times 2$؟ الجواب نعم، والدليل هو القاعدة السادسة من المقطع السابق: ضع فيها $a=\ln b$ فتصير ${\left(e^{\ln b}\right)}^p=e^{p\ln b}$، أي $b^p=e^{p\ln b}$. الطرف الأيسر هو القوّة القديمة والأيمن هو التعريف الجديد، وهما واحد.

الكتاب يضع القاعدة السادسة في الصفحة التي تسبق التعريف مباشرةً ولا يقول إنّها هي التحقّق من التوافق. وهي أيضاً الجواب عن السؤال المفتوح في الوحدة السابقة، حيث سأل الكتاب هل يلتبس $e^m$ بجداء $m$ عاملاً وتركه بـ «لماذا؟». هنا يُغلق ذلك السؤال، من دون أن يقول الكتاب إنّه يُغلقه.

ولاحظ شرط التعريف: $a$ موجبٌ تماماً. الأساس السالب ممنوع، لأنّ $\ln a$ لا يوجد عندئذٍ. ولهذا لا معنى للرمز $(-2{)}^{\pi }$، وهذا واحد من ثلاثة أخطاء يحذّر منها الكتاب صراحةً في آخر الوحدة.

براهين القواعد الستّ كلّها بحركةٍ واحدة: اكتب كلّ قوّةٍ بصيغة $e^{u\ln a}$، طبّق قاعدة الجمع في الأُسّ، ثمّ اقرأ النتيجة قوّةً من جديد. لا تحفظها واحدةً واحدة، بل احفظ الحركة.

الكتاب لا يربط القوّة الحقيقيّة بالجذور في نصّ الدرس، مع أنّ تمرين ②❾ يطلب $\sqrt[6]{\mathrm{2<!--\; -->7}}\times 3^{\frac{1}{2}}$. الجسر هو $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$، ونحن نضعه هنا لأنّك تحتاجه. والكتاب يضعه أيضاً، لكن متأخّراً: في قسم التمارين على الصفحة $\mathrm{1<!--\; -->9<!--\; -->4}$، حيث يعرّف تابع الجذر من المرتبة $n$ بأنّه التقابل العكسي للتابع $x\mapsto x^n$.

3مثال محلول: تبسيط الكتابة

4الحيلة التي تحسم المعادلات الأسّية

وصلنا إلى الجزء الذي تسأل عنه البكالوريا أكثر من أيّ جزءٍ آخر في هذه الوحدة. الفكرة واحدة: معادلةٌ فيها $e^{2x}$ و $e^x$ ليست معادلةً جديدة، بل معادلةٌ من الدرجة الثانية متنكّرة.

الشرط $X_0>0$ هو نصف الطريقة. للمعادلة من الدرجة الثانية قد يكون جذران، وقد يكون أحدهما سالباً أو معدوماً؛ ذاك يُرفض، لأنّ $e^x$ موجبٌ تماماً عند كلّ $x$. ومن نسي هذا الفحص أضاف حلاًّ غير موجود. وقد لا يبقى أيّ حلّ، ولهذا يكتب الكتاب «إن وجدت».

وزن هذا المقطع في البكالوريا هو الأعلى في الوحدة كلّها: الطلب على معادلةٍ أو متراجحةٍ من الدرجة الثانية في $e^x$ ظهر في خمس دورات من اثنتي عشرة قرأناها، مرّةً بأربعين درجة. وهو أيضاً الهدف السادس في تصنيف التمارين لدى دليل المعلّم.