دراسة التوابع الأسّية بالأساس aالتحليل

1الأساس $a$، والرمز ${\exp }_a$

الدرس الثاني عرّف القوّة ذات الأُسّ الحقيقيّ: عند $a$ موجبٍ تماماً يكون $a^x=e^{x\ln a}$. ومن هذا التعريف وحده يخرج هذا الدرس كلّه. لاحظ أنّ التابع الأسّي الذي درسناه هو حالةٌ خاصّة منه، وهي $a=e$، لأنّ $\ln e=1$.

الكتاب يسمّي هذا التابع «التابع الأسّي بالأساس $a$» ويرمز إليه ${\exp }_a$. ولاحظ أين وضع هذا كلّه: في نصٍّ جارٍ، لا في إطار «تعريف». هذا الدرس لا يحوي إطار «تعريف» واحداً، والإطار الذي يشرح $a^x$ أصلاً هو «تعريف 2» على الصفحة $\mathrm{1<!--\; -->7<!--\; -->0}$، أي في الدرس الثاني.

وهنا موضعٌ يستحقّ الانتباه. عنوان الدرس يقول $a>0$، ثمّ يستثني النصّ بعد سطرين الحالة $a=1$، لأنّ ${\exp }_1$ هو التابع الثابت $1$. ثمّ تكتب المبرهنة الشرط بصورةٍ ثالثة، اتّحاد مجالين. ثلاث صياغاتٍ للشرط نفسه في صفحةٍ واحدة. والأدقّ منها جميعاً أن تقول: $a$ موجبٌ تماماً ويخالف الواحد.

وموضع الاستثناء نفسه فيه شيء. صيغة الاشتقاق التي تأتي بعد قليل صحيحةٌ عند $a=1$ أيضاً، لأنّها تعطي $\ln 1=0$، أي مشتقّاً معدوماً، وهذا صحيح لتابعٍ ثابت. الذي يسقط عند $a=1$ ليس الصيغة بل النتيجة التي بعدها، أي الرتابة التامّة. الكتاب يضع الشرط في المقدّمة ولا يقول لماذا.

2المشتق، وإشارةٌ واحدة تقرّر كلّ شيء

الاشتقاق لا يحتاج عملاً جديداً. ${\exp }_a$ من النمط $e^{u(x)}$ مع $u(x)=x\ln a$، وهو تابعٌ خطّيّ مشتقّه العدد الثابت $\ln a$. فنطبّق المبرهنة $6$ من الدرس الثالث ونقرأ.

اقرأ البرهان في سطرٍ واحد: $a^x$ موجبٌ تماماً دائماً، فإشارة المشتق هي إشارة $\ln a$ وحدها. ومن هنا كلّ ما في هذا الدرس. احفظ العتبة لا الحالتين: $\ln a$ يتغيّر إشارته عند $a=1$، لا عند $a=0$.

الكتاب لا يلوّن في هذه المبرهنة شيئاً، ولا في برهانها. وهذا لافت: في الوحدة السابقة كانت العبارة الزرقاء الوحيدة في مبرهنةٍ هي بالضبط الشرط الذي يسقطه الطلّاب. هنا يوجد شرطٌ يلعب الدور نفسه تماماً، وهو إشارة $\ln a$، والكتاب يتركه بلا علامة. ضع أنت العلامة: قبل أن تكتب أيّ شيء عن الرتابة، اكتب إشارة $\ln a$.

3الحالتان، والنهايتان، والشكل

النهايتان تُقرآن من الأُسّ $x\ln a$، وهو جداءٌ يتغيّر اتّجاهه بإشارة $\ln a$. ضع $X=x\ln a$ واقرأ: إذا كان $\ln a>0$ سار $X$ مع $x$، وإذا كان سالباً سار عكسه. الكتاب يقفز من العبارة إلى القيمة في سطرٍ واحد ولا يكتب هذه الخطوة.

في الحالتين يكون محور الفواصل مستقيماً مقارباً، لكن في جهتين متعاكستين: عند $-\mathrm{\infty }$ إذا كان $a>1$، وعند $+\mathrm{\infty }$ إذا كان $0<a<1$. ولا يبلغه الخطّ أبداً، لأنّ $a^x$ موجبٌ تماماً في كلّ مكان.

هذا الجدول للحالة $a>1$. وفي الحالة الأخرى ينقلب رأساً على عقب: يبدأ من $+\mathrm{\infty }$ يساراً وينتهي إلى الصفر يميناً، والسهم يتّجه إلى الأسفل. جدولان، وفرقهما كلّه إشارةٌ واحدة.

الرقمان $0$ و $+\mathrm{\infty }$ في طرفَي الجدولين ليسا قيمتين للتابع بل نهايتين، والجدول لا يميّزهما بشيء. لا يوجد $x$ حقيقيّ يعطي $a^x=0$.

4تتمّات: تناظران مختلفان

الوحدة السابقة عرّفت اللّوغاريتم بالأساس $a$ بالصيغة ${\log }_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$. فما علاقته بالتابع الذي ندرسه هنا؟ الجواب في سطرين، والكتاب يكتبهما ثمّ ينتقل.

فـ ${\exp }_a$ هو التقابل العكسي لـ ${\log }_a$، تماماً كما كان $\exp$ عكس $\ln$ في الدرس الأوّل. ولاحظ الشرطين المختلفين، فهما ليسا في الصيغة بل حولها: السطر الأوّل يصحّ عند $x>0$ وحدها لأنّ ${\log }_a$ لا يقبل غير ذلك، والسطر الثاني يصحّ عند كلّ $x$ حقيقيّ. وهذا عدم التناظر نفسه الذي رأيته في الدرس الأوّل بين $e^{\ln x}$ و $\ln \left(e^x\right)$. وحالةٌ خاصّة يذكرها الكتاب: ${\exp }_{\mathrm{1<!--\; -->0}}$ هو عكس اللّوغاريتم العشريّ $\log$.

ومن هذا يتبع أنّ خطّ ${\exp }_a$ وخطّ ${\log }_a$ متناظران بالنسبة إلى المستقيم $y=x$. والآن انتبه، لأنّ الكتاب يضع بعد سطرٍ واحدٍ تناظراً آخر مختلفاً تماماً، بلا فاصلٍ ولا تنبيه.

5دراسةٌ كاملة: $f(x)=x\cdot 2^x$

المثال الوحيد في هذا الدرس يجمع أساساً غير $e$ مع عامل $x$ خارجه. وفيه حركةٌ عند $-\mathrm{\infty }$ تستحقّ أن تُرى، لأنّها تردّ الحالة إلى نتيجةٍ نعرفها من الدرس الرابع.

وكلمةٌ عن الوزن في البكالوريا. هذا الدرس ليس بابَ مسألةٍ كبيرة، لكنّه يعطي أسئلةً قصيرة تتكرّر: تبسيط عددٍ مثل $3^{-\frac{1}{\ln 3}}$ ورد في دورة $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->3}$ بعشرين درجة، واشتقاق $3^{(\sin x{)}^2}$ ورد في دورة $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->6}$ بعشر درجات، ومعادلةٌ من النمط $9^x+3^{x+1}-4=0$ وردت في دورة $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->1<!--\; -->7}$ بأربعين درجة. ثلاثة أسئلةٍ صغيرة، وكلّها من هنا.