التكامل المحدّد وخواصّهالتحليل

1تعريفٌ بلا مساحة

الرمز $\int$ جديدٌ عليك في هذه الوحدة: لم يرد في درسَيها السابقين ولا مرّة، لا عندنا ولا في صفحات الكتاب التي يقابلانها. وما يخفيه أبسط ممّا يوحي به شكله: خذ تابعاً أصليّاً، عوّض بالحدّ الأعلى، عوّض بالحدّ الأدنى، اطرح. هذا كلّ شيء. لا مساحة، ولا مجموع، ولا نهاية. وحين تأتي المساحة، ستكون نتيجةً لهذا التعريف لا مصدرَه.

كلمةٌ عن الرمز ${[F(x)]}_a^b$، لأنّ الكتاب يستعمله من أوّل سطر ولا يعرّفه أبداً. هو اختصارٌ خالص ولا يحمل معنًى إضافيّاً: ${[F(x)]}_a^b$ تعني $F(b)-F(a)$، لا أكثر. وستجده في الكتاب بصيغتين، مع المتحوّل ومن دونه، ${[F(x)]}_a^b$ و ${\left[F\right]}_a^b$، وكلاهما الشيء نفسه.

الترتيب ليس تفصيلاً: التعريف هو $F(b)-F(a)$، الحدّ الأعلى أوّلاً. من يكتب $F(a)-F(b)$ يحصل على العدد المعاكس، وهو خطأٌ لا يُصلحه شيءٌ لاحق. والفخّ أنّ الغلط لا يظهر في الحسابات التي تعطي صفراً، ولا في أيّ حساب حتّى تصل إلى الجواب النهائيّ.

2ثلاث خواصّ، وعلاقة شال

الخواصّ الآتية كلّها تخرج من التعريف في سطر، لأنّ التعريف فرقُ قيمتين، والفرق يوزّع على الجمع ويُخرج العامل الثابت. لا تحفظها كقائمة جديدة؛ اقرأ الأوليَين على أنّهما المبرهنة $3$ من الدرس السابق، وقد رأيتَ هناك أنّ الجمع والضرب بعددٍ يمرّان في التوابع الأصليّة. لا يسمّي نصّ الدرس هذه المجموعة «خطّيّة»، لكنّ الكتاب يستعمل الكلمة في صفحة خلاصة الوحدة: «التكامل المحدّد خطّيّ». فاعرف الاسم، ولا تنتظره في موضعه الطبيعيّ.

من ③ مع $b=a$ تخرج نتيجةٌ لا يكتبها الكتاب في أيّ سطرٍ من هذا الدرس: ${\int }_a^{a}f=-{\int }_a^{a}f$، فالعدد يساوي معاكسه، إذن هو صفر. تكاملٌ حدّاه متساويان يساوي صفراً دائماً، أيّاً كان التابع.

الخاصّة ① هي أثقل ما في هذا الدرس وزناً في البكالوريا، وليس بصيغتها المجرّدة بل في قالبٍ واحد يتكرّر: يُعطى تكاملان $I$ و $J$، ويُطلب حساب $I+J$ لأنّ حدوده تختصر فيصير تكاملاً بسيطاً، ثمّ استنتاج $J$ بالطرح. في سلالم التصحيح التي قرأناها حمل هذا القالب وحده خمساً وثلاثين درجة من ستّين في دورةٍ، وعشرين من أربعين في أخرى. إن تدرّبت على نمطٍ واحد من هذا الدرس، فليكن هذا.

3التكامل بالتجزئة

الجدولان لا يعطيان تابعاً أصليّاً لجداء تابعين، ولا قاعدة عامّة لذلك. لكنّ الاشتقاق يعطي قاعدةً للجداء، وهذا الدرس كلّه قراءةٌ بالمقلوب. اقرأ $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$ بالمقلوب فتجد: $uv$ تابعٌ أصليّ للمجموع $u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$. ومن هذه الجملة الواحدة تخرج الطريقة: لا تحسب التكامل المطلوب مباشرةً، بل بدّله بتكاملٍ آخر تظهر فيه $u^{\mathrm{\prime }}$ بدل $u$، على أمل أن يكون الثاني أسهل.

4التوابع الكسريّة

بقيت حالةٌ واحدة يعالجها الكتاب: الكسر الذي مقامه من الدرجة الثانية. والفكرة ليست جديدة، بل هي الفكرة نفسها التي تقود الدرس كلّه: أعِد التابع إلى مجموع أشياء تعرفها. هنا تكون الأشياء المعروفة كسوراً مقاماتها من الدرجة الأولى، وكلٌّ منها من النمط ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$. الكتاب يضيّق الميدان عمداً، ويقول بأيّ حدود يعمل.

🚨 لا تُشهر الطريقة قبل أن تنظر. الإطار يشترط صفرين حقيقيّين مختلفين، والكلمة الأخيرة هي المهمّة: ومن يبحث عن ثابتين $\lambda$ و $\mu$ على مقامٍ له صفرٌ مضاعف لا يصل إلى شيء: المعادلتان تتناقضان. والكتاب نفسه يضع في آخر تمارينه $f(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{(x+2{)}^2}}$، ثمّ يعلّق بجملةٍ واحدة: «التكامل الأخير ليس من النوع الذي درسناه بل هو أبسط من ذلك». وهو محقّ: من $2x-1=2(x+2)-5$ يأتي $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x+2}}-{\displaystyle \frac{5}{(x+2{)}^2}}$، والحدّان كلاهما سطرٌ جاهز في الجدول الثاني من الدرس السابق، ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ و $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$ مع $n=-2$. سطرٌ واحد بدل جملة معادلات.

وكلمةٌ عن وزن هذا الدرس. الطريقتان ليستا متساويتين في البكالوريا: النمطان اللذان يتكرّران فعلاً هما ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ و $u^{\mathrm{\prime }}{u}^n$، وقبل ذلك كلّه: كلّ سلّم تصحيحٍ قرأناه يجزّئ درجة التكامل الواحدة إلى ثلاث درجاتٍ منفصلة، للتابع الأصليّ، وللتعويض بالحدّين، وللناتج. اكتب الخطوات الثلاث ولو أخطأت في الأخيرة، فالدرجتان الأوليان لا تسقطان معها. والتجزئة لم تُطلب باسمها ولا مرّة في ما قرأناه: تظهر مستترةً داخل مسألةٍ أكبر، فعليك أن تتعرّف عليها بنفسك. أمّا الكسور فلقيناها في دورةٍ واحدة من إحدى عشرة حديثة، بعد قسمةٍ إقليديّة. وعلاقة شال مبرهنةٌ مستقلّة برقمها في الكتاب، ولم نجدها مطلوبةً في تلك الدورات؛ احفظها لأنّها تُستعمل في القيمة المطلقة، لا لأنّها تُسأل.