التكامل المحدّد وخواصّه

مبرهنة وتعريف 4

• $F^{\mathrm{\prime }}=f$ الفرض: ليكن $f$ تابعاً مستمرّاً على مجال $I$، وليكن $F$ أحد توابعه الأصليّة على هذا المجال، وليكن $a$ و $b$ عددين من $I$. عندئذٍ:
• $\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}& {\displaystyle ={[F(x)]}_a^b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =F(b)-F(a)}\end{array}$ العدد $F(b)-F(a)$ لا يتعلّق بالتابع الأصليّ المختار. نسمّيه التكامل المحدّد للتابع $f$ من $a$ إلى $b$. لاحظ الترتيب: الأعلى أوّلاً.
• ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f$ المتحوّل داخل التكامل مقيَّد: تغيير اسمه لا يغيّر العدد. ولذلك تُختصر الكتابة إلى ${\int }_a^{b}f$ عند عدم الحاجة إلى ذكر الصيغة.

الكتاب، الصفحة 208

التعريف يَعِد بشيءٍ يحتاج إثباتاً قبل أن يصير تعريفاً: أنّ العدد نفسه يخرج مهما اخترت من التوابع الأصليّة. لو تعلّق بالاختيار لما كان تعريفاً لشيء. أثبت أنّ الاختيار لا يؤثّر.

1. 1. من أين يأتي الثابت ليكن $G$ تابعاً أصليّاً آخر للتابع $f$ على $I$. هنا يدخل الدرس الأوّل: المبرهنة $1$ ② تقول إنّ كلّ تابعٍ أصليّ آخر يختلف عن $F$ بثابت. الكتاب يستعمل هذه الخطوة ولا يذكرها؛ وهي صحيحةٌ لأنّ $I$ مجال، ولو لم يكن مجالاً لسقطت.
   $$G(x)=F(x)+k$$
2. 2. الحساب، والثابت يسقط نعوّض في الفرق عند الحدّين. الثابت $k$ يظهر مرّتين بالإشارة نفسها، فيختصر من تلقاء نفسه. هذا هو كلّ البرهان.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle {[G(x)]}_a^b}& {\displaystyle =G(b)-G(a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(F(b)+k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(F(a)+k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =F(b)-F(a)}\end{array}$$
3. 3. الخلاصة فالعدد واحدٌ مهما اخترت. ولذلك يجوز اعتماده تعريفاً، ولذلك أيضاً لا تحتاج في أيّ حساب إلى السؤال «أيّ تابعٍ أصليّ آخذ؟»: خذ أبسطها، وأسقِط الثابت من البداية.
   $${[G(x)]}_a^b={[F(x)]}_a^b$$

مثال، أربعة تكاملات محسوبة

• $\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_{-1}^2(2x-1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[x^2-x]}_{-1}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(4-2)-(1+1)=0}\end{array}$ كثير حدود، حدّاً حدّاً بالجدول الأوّل. ولاحظ: التكامل ينعدم من دون أن ينعدم التابع.
• $\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{\mathrm{1<!--\; -->2}}}^{\frac{\pi }{6}}\cos 2xdx}& {\displaystyle ={[\frac{1}{2}\sin 2x]}_{\frac{\pi }{\mathrm{1<!--\; -->2}}}^{\frac{\pi }{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\sqrt{3}-1}{4}}\end{array}$ سطر $g(ax+b)$ من الدرس السابق: العامل $\frac{1}{2}$ هو $\frac{1}{a}$ ولا يُنسى.
• $\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_2^4\frac{3}{x-1}dx}& {\displaystyle ={[3\ln (x-1)]}_2^4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\ln 3-3\ln 1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\ln 3}\end{array}$ النمط ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$. والفرع $\ln (x-1)$ صحيحٌ لأنّ $x-1>0$ على $[2,4]$؛ الكتاب لا يذكر هذا التبرير هنا، ويذكره في مثالٍ لاحق.
• $\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1}2x{e}^{x^2}dx}& {\displaystyle ={\left[e^{x^2}\right]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^1-e^0=e-1}\end{array}$ النمط $u^{\mathrm{\prime }}{e}^u$ مع $u(x)=x^2$، والعامل $2x$ موجودٌ كاملاً.

الكتاب، الصفحة 209

مبرهنة 5

• $a,b\in I$ الفرض: ليكن $f$ و $g$ تابعين مستمرّين على مجال $I$، وليكن $a$ و $b$ عددين من $I$، و $\lambda$ عدداً حقيقيّاً. عندئذٍ:
• ${\int }_a^b(f+g)={\int }_a^{b}f+{\int }_a^{b}g$ ① الجمع يمرّ. والسبب في سطر: إن كان $F$ و $G$ تابعين أصليّين لـ $f$ و $g$، كان $F+G$ تابعاً أصليّاً لـ $f+g$.
• ${\int }_a^b(\lambda f)=\lambda {\int }_a^{b}f$ ② العامل الثابت يخرج. الكتاب يترك برهانها تمريناً للقارئ، وهي مثل ① تماماً.
• ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ ③ تبديل الحدّين يقلب الإشارة، لأنّ $F(a)-F(b)$ معاكس $F(b)-F(a)$. برهانها متروكٌ للقارئ مثل ②، لكنّها تزيد عليها بأنّها لا تظهر في أيّ مثالٍ من الدرس.

الكتاب، الصفحة 209

مبرهنة 6، علاقة شال

• ${\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f={\int }_a^{b}f$ بفرض أنّ $f$ مستمرٌّ على مجال $I$، وأنّ $a$ و $b$ و $c$ ثلاثة أعداد منه. البرهان سطران: المجموع هو $F(c)-F(a)$ زائد $F(b)-F(c)$، والمقدار $F(c)$ يظهر مرّتين بإشارتين متعاكستين فيختصر، ويبقى $F(b)-F(a)$.
• $c\in I$ الشرط الوحيد على $c$ أن يكون من المجال $I$. لاحظ أنّ المبرهنة لا تطلب أن يقع بين $a$ و $b$. وهذا يتّسق مع ③: الحدّان قد ينقلبان، والإشارة تتكفّل بالباقي.

الكتاب، الصفحة 210

علاقة شال ليست زينة نظريّة، وهذا أوّل موضعٍ تُستعمل فيه فعلاً. احسب التكامل المحدّد، وانتبه إلى القيمة المطلقة، فهذه أوّل مرّة تصادفها داخل تكامل.

1. 1. أين تنقلب الإشارة القيمة المطلقة ليست تابعاً من الجدول، فلا بدّ من إزالتها أوّلاً. ندرس إشارة ما بداخلها على مجال التكامل: $x^2-1$ سالبٌ أو معدوم على $[0,1]$ وموجبٌ أو معدوم على $[1,2]$. والصفر الفاصل هو $1$.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\forall }x\in [0,1]}& {\displaystyle :x^2-1\le 0}\\ {\displaystyle \mathrm{\forall }x\in [1,2]}& {\displaystyle :x^2-1\ge 0}\end{array}$$
2. 2. القطع عند الصفر الفاصل هنا تدخل علاقة شال: نقطع التكامل عند $1$، وعلى كلّ قطعةٍ نستبدل القيمة المطلقة بتعبيرٍ عاديّ حسب إشارته.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_0^1(1-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_1^2(x^2-1)dx}\end{array}$$
3. 3. حسابان عاديّان التابعان الآن كثيرا حدود، والجدول الأوّل يكفي. الأوّل يعطي $\frac{2}{3}$، والثاني $\frac{4}{3}$.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={[x-\frac{x^3}{3}]}_0^1+{[\frac{x^3}{3}-x]}_1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2}\end{array}$$

مبرهنة 7

• $a,b\in I$ الفرض: نتأمّل تابعين $u$ و $v$ قابلين للاشتقاق على مجال $I$، ونفترض أنّ المشتقّين $u^{\mathrm{\prime }}$ و $v^{\mathrm{\prime }}$ مستمرّان على $I$. عندئذٍ أيّاً كان العددان $a$ و $b$ من $I$:
• ${\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }}={\left[uv\right]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}v$ لاحظ الإشارة السالبة وموضع الشرطة: على اليمين يُشتقّ $u$ ويبقى $v$، أي أنّ الشرطة انتقلت من $v$ إلى $u$. البرهان يستند صراحةً إلى المبرهنة $5$، لأنّه يفصل تكامل المجموع إلى مجموع تكاملين.

الكتاب، الصفحة 211

أوّل مثالَي الكتاب على هذه الطريقة، وهو القالب الذي تُبنى عليه أكثر مسائل البكالوريا. احسب التكامل المحدّد.

1. 1. من يُشتقّ ومن يُكامَل القاعدة العمليّة التي يكتبها الكتاب صراحةً: عند جداء كثير حدود في تابعٍ أُسّي، اجعل كثير الحدود هو $u$، لأنّ اشتقاقه يخفّض درجته حتّى تختفي. والعامل الآخر هو $v^{\mathrm{\prime }}$، لأنّ التابع الأُسّي لا يزداد صعوبةً بالمكاملة.
   $$\begin{array}{cc}u(x)=x& v^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-x}\\ u^{\mathrm{\prime }}(x)=1& v(x)=-e^{-x}\end{array}$$
2. 2. تطبيق الصيغة نضع في مكانها. الحدّ الأوّل قوسٌ يُحسب بالتعويض، والثاني تكاملٌ جديد أبسط من الأصل: اختفى $x$ تماماً.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\left[x(-e^{-x})\right]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\int }_0^1(-e^{-x})dx}\end{array}$$
3. 3. الحسابان القوس عند $1$ يعطي $-e^{-1}$ وعند $0$ يعطي صفراً. والتكامل الثاني تابعٌ أُسّيّ صرف، وإشارتاه السالبتان تُصبحان جمعاً.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle =-e^{-1}-{\left[e^{-x}\right]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-e^{-1}-(e^{-1}-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-2e^{-1}=\frac{e-2}{e}}\end{array}$$

والآن استعمالٌ مقلوب للتكامل: بدل أن نستعمل التابع الأصليّ لحساب تكامل، نستعمل التكامل لإيجاد تابعٍ أصليّ. الكتاب يذكر في أوّل الدرس أنّ $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ تابعٌ أصليّ للتابع $f$، ثمّ يستفيد منه هنا. عيّن تابعاً أصليّاً للتابع $f:x\mapsto \ln x$ على $]0,+\mathrm{\infty }[$.

1. 1. لماذا يجوز هذا أصلاً جملتان تسنِدان هذه الكتابة، والكتاب يذكرهما ولا يبرهنهما. الأولى: $\ln$ مستمرٌّ على $]0,+\mathrm{\infty }[$، فله تابعٌ أصليّ بالمبرهنة $2$ من الدرس الأوّل. والثانية: إذا كان $f$ مستمرّاً على مجال $I$ و $a$ عدداً منه، كان $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ هو التابع الأصليّ الذي ينعدم عند $a$. نختار $a=1$، وأيّ عددٍ من المجال يصلح.
   $$F(x)={\int }_1^x\ln tdt$$
2. 2. التجزئة بالحيلة المعاكسة لا يوجد هنا جداء ظاهر، فنصطنع واحداً: نكتب $\ln t$ على أنّه $\ln t\times 1$. ثمّ نجعل اللوغاريتم هو $u$، لأنّ اشتقاقه يعطي كسراً بسيطاً، والعامل $1$ هو $v^{\mathrm{\prime }}$.
   $$\begin{array}{cc}u(t)=\ln t& v^{\mathrm{\prime }}(t)=1\\ u^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{t}}& v(t)=t\end{array}$$
3. 3. الاختصار الذي يحلّ كلّ شيء في التكامل الثاني يظهر الجداء $t\times {\displaystyle \frac{1}{t}}$ ويساوي $1$. فيصير تكاملاً لثابت، وهو أبسط ما يكون.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(x)}& {\displaystyle ={[t\ln t]}_1^x-{\int }_1^{x}t\cdot \frac{1}{t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x\ln x-{\int }_1^{x}dt=x\ln x-x+1}\end{array}$$
4. 4. الجواب، وحرّيّة الثابت الناتج تابعٌ أصليّ، والحدّ $+1$ ثابتٌ يجوز إسقاطه ما دام المطلوب «تابعاً أصليّاً» لا «التابع الأصليّ الذي ينعدم عند $1$». الكتاب يُسقطه من دون أن يقول لماذا؛ السبب هو المبرهنة $1$ ① من الدرس الأوّل. والتحقّق فوريّ بالاشتقاق.
   $$x⟼x\ln x-x$$

الإطار، والحالتان

• $\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =\frac{A(x)}{B(x)}}\\ {\displaystyle B(x)}& {\displaystyle =(x-r_1)(x-r_2)}\end{array}$ الإطار: $A$ كثير حدود، و $B$ كثير حدود من الدرجة الثانية، واحديٌّ أي حدّه المسيطر $x^2$، وله صفران حقيقيّان مختلفان $r_1$ و $r_2$. والحدّان $a$ و $b$ من مجالٍ واحد لا يحوي $r_1$ ولا $r_2$. وإن لم يكن المقام واحديّاً، اقسم البسط والمقام على معامل $x^2$ أوّلاً، فيعود إلى الإطار.
• $A(x)=\lambda (x-r_1)+\mu (x-r_2)$ الحالة الأولى، $\mathrm{deg}A\le 1$: نبحث عن ثابتين. التعويض بـ $x=r_1$ يُلغي الحدّ الأوّل فيعطي $\mu$، والتعويض بـ $x=r_2$ يعطي $\lambda$. انتبه إلى التبادل، فهو معكوس ما يتوقّعه أكثر الطلّاب.
• $f(x)=\frac{\lambda }{x-r_2}+\frac{\mu }{x-r_1}$ وبالاختصار يصير الكسر مجموع كسرين مألوفين، وتكامل كلٍّ منهما لوغاريتم. لا تنسَ فحص إشارة كلّ مقام على مجال التكامل لاختيار الفرع.
• $\begin{array}{rl}{\displaystyle A(x)}& {\displaystyle =Q(x)B(x)+R(x)}\\ {\displaystyle \mathrm{deg}R}& {\displaystyle \le 1}\end{array}$ الحالة الثانية، $\mathrm{deg}A\ge 2$: قسمة إقليديّة أوّلاً. فيصير $f=Q+{\displaystyle \frac{R}{B}}$، وتكامل $Q$ يسيرٌ لأنّه كثير حدود، والباقي يعود إلى الحالة الأولى.

الكتاب، الصفحة 212

مثال الكتاب على الحالة الأولى، وفيه القالب كاملاً. احسب التكامل المحدّد.

1. 1. حلّل المقام أوّلاً قبل أيّ شيء: هل المقام من الشكل المطلوب؟ نجد صفريه ونكتبه جداءً. الصفران $-1$ و $2$ مختلفان، فالإطار ينطبق. والتابع مستمرٌّ على $[0,1]$ لأنّ الصفرين خارجه.
   $$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$
2. 2. عيّن الثابتين نكتب البسط، وهو $1$، بدلالة القوسين، ثمّ نعوّض بكلّ صفرٍ على حدة. التعويض بـ $-1$ يُلغي القوس الأوّل ويعطي $\mu$، والتعويض بـ $2$ يعطي $\lambda$.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1}& {\displaystyle =\lambda (x+1)+\mu (x-2)}\\ {\displaystyle \mu }& {\displaystyle =-\frac{1}{3},\lambda =\frac{1}{3}}\end{array}$$
3. 3. الكسر يصير مجموعاً نعوّض ونختصر، فينفصل الكسر إلى حدّين مقاماهما من الدرجة الأولى. كلٌّ منهما الآن من النمط ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ مضروباً بعدد.
   $$f(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+1}$$
4. 4. افحص الإشارتين قبل اللوغاريتم هذه هي الخطوة التي تُخسر فيها الإشارة. على $[0,1]$ يكون $x+1>0$، فالفرع $\ln (x+1)$؛ ويكون $x-2<0$، فالفرع $\ln (2-x)$ لا $\ln (x-2)$.
   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle =\frac{1}{3}{[\ln (2-x)]}_0^1-\frac{1}{3}{[\ln (x+1)]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}(-\ln 2)-\frac{1}{3}\ln 2=-\frac{2}{3}\ln 2}\end{array}$$