العمليّات على النهاياتالتحليل

1نهاية المجموع

المبرهنات التي يعرضها الكتاب في جداول تفيد في حساب نهايات التوابع $f+g$ و $fg$ و $\frac{f}{g}$ إذا كنّا نعرف نهاية $f$ ونهاية $g$. وهي تعمل في المواضع الثلاثة كلّها من غير تغيير: عند $+\mathrm{\infty }$، وعند $-\mathrm{\infty }$، وعند نقطة $a$ من الأعداد الحقيقية. لهذا تُكتب في الجداول من دون ذكر الموضع.

معظم الخانات سهلة التوقّع بالحدس. خذ هذه الحالة: إذا كان ${\lim }_{x\to 1}f(x)=+\mathrm{\infty }$ وكان ${\lim }_{x\to 1}g(x)=3$، فقيم $f$ تكبر بلا حدّ وقيم $g$ تتجمّع حول $3$، فمجموعهما يكبر بلا حدّ أيضاً. إضافة عدد ثابت لا تكبح شيئاً يكبر بلا حدّ.

وهكذا تُقرأ كلّ خانة من الجدول: لا حفظاً، بل بالسؤال «ماذا يفعل الكبير مع الصغير هنا». يبقى موضع واحد يعجز الحدس عنه: أن يكبر أحد التابعين نحو $+\mathrm{\infty }$ ويكبر الآخر نحو $-\mathrm{\infty }$. عندئذ يتنازع الطرفان، والنتيجة تتوقّف على أيّهما أسرع.

انظر إلى ثلاثة أمثلة، كلّها من الصيغة نفسها عند $+\mathrm{\infty }$: في $x-x$ يتعادل الطرفان فالنتيجة $0$، وفي $x^2-x$ يسبق المربّع فالنتيجة $+\mathrm{\infty }$، وفي $x-x^2$ تنقلب فتصير $-\mathrm{\infty }$. ثلاث نتائج مختلفة من شكل واحد، وهذا بالضبط معنى أنّ الخانة لا تُقرأ.

الخانة الحمراء لا تعني «النهاية غير موجودة»، ولا تعني $0$. تعني أنّ معرفة نهاية $f$ ونهاية $g$ وحدها لا تكفي، وأنّ على الحلّ أن يعود إلى الصيغة نفسها ويعيد كتابتها. النهاية قد تكون موجودة تماماً، كما في $x^2-x$.

2الجداء والكسر

جدول الجداء يتبع قاعدة الإشارات المعروفة. إذا كانت نهاية $f$ عدداً غير معدوم ونهاية $g$ لا نهائية، فنهاية الجداء لا نهائية، وإشارتها حاصل ضرب الإشارتين. وإذا كانت النهايتان لا نهائيتين معاً، فالأمر نفسه.

أمّا الكسر $\frac{f}{g}$ فالكتاب يقسمه إلى حالتين، والفرق بينهما هو مفتاح الدرس كلّه: هل نهاية المقام معدومة أم لا. إذا لم تكن معدومة، فالجدول يشبه جدول الجداء تماماً، ويُضاف إليه سطر واحد جديد: عدد منتهٍ مقسوم على شيء يكبر بلا حدّ يعطي $0$.

وتبقى الحالة الحرجة: نهاية المقام معدومة. هنا لا تكفي النهاية وحدها، وهذا ما يميّز جدول الكتاب الرابع عن الثلاثة قبله. انظر إلى $\frac{1}{x}$ عند الصفر: المقام يقترب من $0$ في الحالتين، ومع ذلك تكون النهاية $+\mathrm{\infty }$ من اليمين و $-\mathrm{\infty }$ من اليسار. الفرق ليس في نهاية المقام، بل في إشارة قيمه.

لهذا يكتب الكتاب في سطر المقام عبارتين لا واحدة: $0$ وقيم $g$ موجبة، أو $0$ وقيم $g$ سالبة. من دون هذه الزيادة لا يوجد جواب أصلاً.

لا تكتب $\frac{2}{0}=\mathrm{\infty }$ بلا إشارة. حين تنعدم نهاية المقام يجب دراسة إشارة $g$ على يمين النقطة وعلى يسارها، ثمّ إعطاء نهايتين منفصلتين. والنهاية من الجهتين لا توجد إلّا إذا تساوت النهايتان الجانبيّتان.

3أربع صيغ لا تُقرأ من الجدول

جمعنا الآن الخانات الحمراء الأربع من الجداول الأربعة. حين نقع على إحداها لا نستطيع تحديد النهاية اعتماداً على الجداول، وتلزم دراسة أكثر تفصيلاً. هذه هي صيغ عدم التعيين.

هذه الكتابة رموزٌ لتسهيل الكلام عن حالات عدم التعيين، وليس لها معنى رياضي. الكسر $\frac{0}{0}$ مثلاً ليس كسراً أصلاً، إذ لا يجوز أن يكون المقام معدوماً.

والدليل على أنّه لا عدد وراء هذه الرموز بسيط. خذ ثلاثة توابع عند الصفر، كلّها من الصيغة $\frac{0}{0}$: الأوّل $\frac{x}{x}$ نهايته $1$، والثاني $\frac{x^2}{x}$ نهايته $0$، والثالث $\frac{x}{x^2}$ لا نهاية له عند الصفر أصلاً، إذ تكبر قيمه نحو $+\mathrm{\infty }$ من اليمين ونحو $-\mathrm{\infty }$ من اليسار. صيغة واحدة وثلاث نتائج مختلفة.

أشهر خطأ في هذه الوحدة هو قراءة الصيغة كأنّها عدد: $\frac{0}{0}=1$ أو $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}=1$ أو $+\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=0$. كلّها خاطئة. الصيغة اسمٌ لحالة، لا قيمة. الجواب لا يأتي إلّا بعد إعادة كتابة التابع.

4ثلاث حيل لرفع عدم التعيين

الفكرة واحدة في الحيل الثلاث: التابع لا يتغيّر، بل تتغيّر صيغته. نبحث عن كتابة أخرى للتابع نفسه تكون أكثر ملاءَمة لحساب النهاية، ثمّ نطبّق الجداول على الصيغة الجديدة. الكتاب يعرض ثلاث حيل، وهي عُدّة هذا الدرس. وليست كلّ حالة عدم تعيين ترتفع بها، فبعضها يحتاج أدوات الدروس التالية.

الحيلة الأولى: إخراج عامل مشترك ثمّ الاختصار. مثال الكتاب هو $h(x)=\frac{x^2-x}{\sin x}$ عند الصفر. نهاية البسط $0$ ونهاية المقام $0$، فالصيغة $\frac{0}{0}$. نُخرج $x$ عاملاً مشتركاً في البسط، ثمّ نفصل الكسر إلى جزأين.

ونستعمل هنا النتيجة ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$، وهي من نشاطٍ خارج هذه الدروس، نقبلها كما هي. إذن ${\lim }_{x\to 0}v(x)=1$ و ${\lim }_{x\to 0}u(x)=-1$، ومقام نهايته $1$ غير معدوم، فالجدول ينطبق أخيراً.

الحيلة الثانية: الضرب بالمرافق. تُستعمل كلّما ظهر جذر في فرق. مثال الكتاب هو $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ عند الصفر، وهو من الصيغة $\frac{0}{0}$ أيضاً. نضرب البسط والمقام بمرافق البسط $\sqrt{x+1}+1$، فيختفي الجذر من البسط.

المقام لم يعد ينعدم عند الصفر، بل نهايته $2$. فالنتيجة تُقرأ من الجدول مباشرة: ${\lim }_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{2}$.

انعدام المقام عند نقطة لا يعني وجود مقارب شاقولي هناك. في هذا المثال ينعدم المقام عند $0$، ومع ذلك النهاية عدد منتهٍ هو $\frac{1}{2}$. لا يُحكم بالمقارب الشاقولي إلّا بعد الاختصار أو الضرب بالمرافق.

الحيلة الثالثة: إخراج الحدّ المُسيْطِر خارج قوسين. تُستعمل عند $+\mathrm{\infty }$ و $-\mathrm{\infty }$ وحدهما. مثال الكتاب هو $f(x)=\frac{x+\sqrt{x}}{x+1}$ عند $+\mathrm{\infty }$، وهو من الصيغة $\frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}$. نُخرج $x$ من البسط ومن المقام ونختصر، علماً أنّ $x>0$ في جوار $+\mathrm{\infty }$.

وقد بقي داخل القوسين ما نعرف نهايته من القائمة المرجعيّة: ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}=0$ و ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$. إذن ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)=1$.

الترتيب واحد في الحيل الثلاث: نتعرّف على الصيغة أوّلاً، ثمّ نعيد كتابة التابع، ثمّ نطبّق الجدول. من طبّق الجدول قبل إعادة الكتابة كتب جواباً لا معنى له.

5الحدّ المُسيْطِر عند اللّانهاية

الحيلة الثالثة تستحقّ أن تصير قاعدة، لأنّها تتكرّر في كلّ مسألة تحليل. والكتاب يضع القاعدتين في الصفحة $\mathrm{3<!--\; -->1}$: نهايات توابع كثيرات الحدود ونهايات التوابع الكسريّة عند $+\mathrm{\infty }$ أو $-\mathrm{\infty }$.

الجواب الأوّل: عند $+\mathrm{\infty }$ وكذلك عند $-\mathrm{\infty }$، نهاية تابع كثير الحدود هي نفسها نهاية حدِّه المُسيْطِر، أي الحدّ الذي له أعلى درجة. لاحظ: أعلى درجة، لا أكبر أمثال. الحدّ $\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}{x}^3$ لا يسيطر على $-2x^4$ مهما بدا كبيراً.

الجواب الثاني يخصّ التوابع الكسريّة التي بسطها ومقامها كثيرا حدود. عند $+\mathrm{\infty }$ أو $-\mathrm{\infty }$ تساوي نهايةُ التابع الكسري نهايةَ قسمة الحدّ المُسيْطِر في البسط على الحدّ المُسيْطِر في المقام. والبرهان هو الحيلة الثالثة نفسها: نُخرج الحدّ المُسيْطِر خارج قوسين في كلٍّ من البسط والمقام، ونختصر، ثمّ نبحث عن النهاية.

القاعدتان صالحتان عند $+\mathrm{\infty }$ و $-\mathrm{\infty }$ فقط. عند نقطة $a$ من الأعداد الحقيقية لا معنى لهما البتّة: هناك نعوّض $a$ في التابع، فإن ظهرت صيغة عدم تعيين رجعنا إلى الاختصار أو المرافق. من كتب ${\lim }_{x\to 1}(x^3-2x^2+x-1)={\lim }_{x\to 1}{x}^3=1$ فقد نقل قاعدة من مكانها، والجواب الصحيح $-1$.

بهذه القاعدة صارت أسئلة «تدرّب» في الدرس الأوّل ممكنة. كانت هناك ستّة كثيرات حدود مطلوبة نهاياتها عند الطرفين، ولم تكن الأداة قد وصلت بعد. وهي الآن سطر واحد لكلّ منها: عيّن الحدّ الأعلى درجة، ثمّ اقرأ نهايته.

6مثال الكتاب: تابع كسري عند اللّانهاية السالبة

نختم بمثال الكتاب الأخير، وهو تابع كسري عند $-\mathrm{\infty }$. اخترناه لأنّه يجمع القاعدتين معاً ويُظهر أنّ الطرف السالب لا يحتاج حساباً جديداً، بل الانتباه نفسه إلى الإشارة.

ثلاثة أسئلة بالترتيب في كلّ نهاية: ما الصيغة، هل هي من صيغ عدم التعيين، وأيّ حيلة ترفعها. من بدأ بالجدول قبل هذه الأسئلة أخطأ، ومن بدأ بها لم يبق عليه إلّا الحساب.