نهايات مهمّة تتعلّق بالتابع اللّوغاريتميالتحليل

1النهايات الثلاث الأساسيّة

والبرهان الأوّل أقصر ممّا تتوقّع، لأنّه ليس حساب نهايةٍ أصلاً بل قراءةٌ لتعريف العدد المشتق. تذكّر أنّ نسبة التغيّر بين $1$ و $1+x$ هي فرق القيمتين على فرق الفاصلتين.

أمّا البرهان الثاني فيستعمل ما أثبتناه في الدرس الثالث: $\ln x<2\sqrt{x}$ عند كلّ $x>0$. ولمّا كان $\ln x>0$ في حالة $x>1$، صار عندنا حصرٌ من الطرفين.

والبرهان الثالث يستعمل تغيير المتحوّل نفسه الذي رأيناه في الدرس الثالث. نضع $u={\displaystyle \frac{1}{x}}$، فيكون $x\ln x=-{\displaystyle \frac{\ln u}{u}}$، وعندما تسعى $x$ إلى الصفر بقيمٍ موجبة تسعى $u$ إلى $+\mathrm{\infty }$. فتصير النهاية المطلوبة معاكس النهاية الثانية، أي صفراً.

الخلاصة التي تحملها النهايات الثلاث جملةٌ واحدة: اللوغاريتم بطيء. عند اللانهاية يصغر أمام $x$، وقرب الصفر لا يقوى نزوله على مقاومة صعود $x$ إلى الصفر. كلّما واجهت تنافساً بين لوغاريتمٍ وكثير حدود، فكثير الحدود هو الغالب.

2أربع نتائج تتبعها

ويضيف الكتاب أربع نهايات أخرى في إطارٍ بلا رقم. ولا تحفظها بالجهد نفسه: الأولى مقلوب النهاية الأولى، والثانية والثالثة هما النهاية الأولى نفسها بعد إزاحة، والرابعة مقلوب النهاية الثانية.

لا تقلب النهاية بلا تفكير. قلبُ النهاية جائزٌ عندما تكون النهاية عدداً غير معدوم، فتصير مقلوبه. أمّا إذا كانت صفراً فالمقلوب يسعى إلى اللانهاية، وعندئذٍ يجب أن تعرف إشارة المقدار قرب النقطة لتحدّد أهي $+\mathrm{\infty }$ أم $-\mathrm{\infty }$.

3ثلاثة أمثلة محلولة، ثلاث حيل

ولكلّ حالةٍ من حالات عدم التعيين حيلةٌ تناسبها. الأمثلة الثلاثة الآتية من الكتاب تعرض ثلاثاً منها: التجميع في كسرٍ واحد، وتغيير المتحوّل، وضمّ لوغاريتمين في واحد.

والمثال الثاني هو التابع $g(x)=x\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$ عند $+\mathrm{\infty }$. نضع $u={\displaystyle \frac{1}{x}}$، فيصير $g(x)={\displaystyle \frac{\ln (1+u)}{u}}$. وعندما تسعى $x$ إلى $+\mathrm{\infty }$ تسعى $u$ إلى الصفر، فنقع على النهاية الأولى من هذا الدرس تماماً، وقيمتها $1$.

بهذا تكتمل الوحدة. وما تحمله معك إلى وحدة التابع الأُسّي ثلاثة أشياء: أنّ اللوغاريتم بطيء، وأنّ فرق اللوغاريتمين يُضمّ قبل أيّ حساب، وأنّ مجموعة التعريف تُكتب قبل الحلّ لا بعده.