لوغاريتم جداء ضربالتحليل

1الخاصّة الأساسيّة: الضرب يصير جمعاً

وبرهان الكتاب أنيق، ويستعمل أداةً واحدة من وحدة الاشتقاق: تابعٌ مشتقّه معدوم على مجالٍ هو تابعٌ ثابت عليه. نثبّت $a$ ونبني تابعاً يقيس الفرق بين الطرفين.

لا تعمّم في الاتّجاه الخطأ. الخاصّة تقول شيئاً عن الجداء ولا تقول شيئاً عن المجموع: $\ln (a+b)$ لا يساوي $\ln a+\ln b$، وجرّبها بـ $a=b=1$ فيصير الطرف الأيسر $\ln 2$ والأيمن صفراً. وكذلك الطرف الأيمن مجموعٌ لا جداء: $\ln (ab)$ ليس $\ln a\times \ln b$.

2أربع نتائج، كلّها من الخاصّة نفسها

لا شيء ممّا يأتي قاعدةٌ جديدة تُحفظ وحدها. كلّها تخرج من المبرهنة السابقة في سطرٍ أو سطرين، ومعرفة الطريق أنفع من حفظ النتيجة.

ثلاثة أخطاء تتكرّر هنا كلّ عام، وكلّها من النوع نفسه: نقل العمليّة كما هي بدل تحويلها. $\ln {\displaystyle \frac{a}{b}}$ ليس ${\displaystyle \frac{\ln a}{\ln b}}$، و $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(a^n\right)$ ليس ${(\ln a)}^n$، و $\ln \sqrt{a}$ ليس $\sqrt{\ln a}$. في الثلاثة تنزل العمليّة درجةً واحدة: القسمة تصير طرحاً، والقوّة تصير ضرباً، والجذر يصير قسمةً على اثنين.

3الفخّ الأكبر: لماذا لا تصحّ المساواة على كامل المستقيم

لماذا لا تصحّ المساواة $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^2\right)=2\ln x$ على $\mathbb{R}$؟ لأنّ الخاصّة الأساسيّة صحيحة فقط على مجموعة الأعداد الموجبة تماماً، والطرف الأيسر معرّف عند كلّ $x$ غير معدوم بينما الطرف الأيمن يشترط $x>0$.

ولحساب $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^2\right)$ على مجموعة تعريفه كلّها نكتب المربّع بصورةٍ تحفظ الإيجاب: $x^2=x\times x=\mid x\mid \times \mid x\mid$، وهذان عاملان موجبان تماماً عند كلّ $x\mathrm{\ne }0$.

الصيغة الجامعة $\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(x^2\right)=2\ln \mid x\mid$ صحيحة عند كلّ $x\mathrm{\ne }0$ وتغنيك عن الحالتين. وهي تعمّم إلى كلّ قوّةٍ زوجيّة. هذا هو الموضع الذي يخسر فيه الطلّاب أكثر ما يخسرون في هذه الوحدة، لأنّ الجواب الناقص يبدو صحيحاً تماماً.

4تابعان متساويان في الصيغة، مختلفان في التعريف

وللفخّ نفسه صورةٌ ثانية يعرضها الكتاب. تأمّل التابعين $f:x\mapsto \ln \text{\hspace{0.17em}⁣}(x^2-1)$ و $g:x\mapsto \ln (x+1)+\ln (x-1)$. القاعدة الأساسيّة توحي بأنّهما التابع نفسه، لأنّ $x^2-1=(x+1)(x-1)$. وهذا غير صحيح.

نستنتج أنّ $f$ و $g$ غير متساويين، لاختلاف مجموعتي تعريفهما. ولكن مهما كانت $x$ من $D_f\cap D_g=]1,+\mathrm{\infty }[$ كان $f(x)=g(x)$. أي أنّ القاعدة لم تكذب، بل ضيّقت المجال.

احفظ الاتّجاه: تفكيك اللوغاريتم إلى مجموع يُصغّر مجموعة التعريف أو يُبقيها، ولا يوسّعها أبداً. لذلك يُحسب مجال التعريف من الصيغة الأصليّة قبل أيّ تفكيك، لا بعده. الفرق هنا هو المجال $]-\mathrm{\infty },-1[$ كاملاً، وهو نصف الجواب.

5مثالان محلولان: معادلة ومتراجحة

نجمع الآن قواعد هذا الدرس مع طريقة الدرس السابق. المفتاح في الاثنين واحد: نوحّد الطرفين في لوغاريتمٍ واحدٍ على كلّ جهة، ثمّ نتخلّص منهما، ثمّ نعرض النتيجة على مجموعة التعريف.

قواعد هذا الدرس هي أكثر ما يظهر في البكالوريا من الوحدة كلّها، لأنّها تدخل في كلّ مسألةٍ لاحقة: في الاشتقاق، وفي النهايات، وفي دراسة التوابع. أتقنها الآن، فما بعدها يبني عليها ولا يعيدها.