دراسة التابع اللّوغاريتمي lnالتحليل

1إلى أين يذهب اللوغاريتم؟

والبرهان الأوّل جميلٌ لأنّه لا يستعمل شيئاً جديداً. المطلوب أن نُثبت أنّه مهما كبر العدد الموجب $M$ نجد عدداً $A$ يجعل $\ln x\ge M$ بمجرّد انتماء $x$ إلى المجال $[A,+\mathrm{\infty }[$. والحيلة أن نبني $A$ من قوى العدد $2$.

أمّا النهاية الثانية فيصل إليها الكتاب بفكرةٍ ذكيّة تنصّ على نقل النهاية عند الصفر إلى نهايةٍ عند اللانهاية، وذلك بإجراء تغييرٍ للمتحوّل. نضع $u={\displaystyle \frac{1}{x}}$، فيكون $x={\displaystyle \frac{1}{u}}$، ومن قاعدة لوغاريتم المقلوب $\ln x=-\ln u$.

تغيير المتحوّل هنا ليس حيلةً محلّيّة بل أداةٌ عامّة: كلّما ضاق عليك السلوك قرب الصفر، اقلب المتحوّل وانظر إلى السلوك عند اللانهاية، حيث أدواتك أكثر. وستعود هذه الأداة في دروس النهايات والتكامل.

2الجدول الكامل، والتقابل

بالنهايتين يكتمل جدول التغيّرات الذي رأيناه في الدرس الأوّل: كانت طرفاه فارغتين، والآن نعرف ما فيهما.

واستناداً إلى المبرهنتين $7$ و $8$ من الوحدة الثانية، وهما مبرهنة التقابل للتوابع المستمرّة المطّردة تماماً وجدول الصور، نستنتج أنّ صورة ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ وفق التابع $x\mapsto \ln x$ هي $\mathbb{R}$ كاملة.

انتبه إلى أنّ $m$ ليس مشروطاً بشيء. قد يكون موجباً أو سالباً أو معدوماً، وفي كلّ حالةٍ يوجد حلٌّ وحيد. ومن ظنّ أنّ $m$ يجب أن يكون موجباً خلط بين مجموعة التعريف ومجموعة القيم: الأولى نصف مستقيم، والثانية المستقيم كلّه.

3اصطلاح وترميز: من أين يأتي العدد النيبري

ما دام للمعادلة $\ln x=m$ حلٌّ وحيد، فمن حقّنا أن نعطي هذا الحلّ اسماً. والاسم المتّفق عليه هو $e^m$.

🚨 في هذه اللحظة من الكتاب، $e^m$ ليس قوّةً بل اسماً. لم نعرّف بعدُ رفع عددٍ إلى أُسٍّ حقيقيّ، وهذا موضوع الوحدة القادمة. كلّ ما نملكه الآن هو أنّ $e^m$ يرمز إلى الحلّ الوحيد للمعادلة $\ln x=m$، ولذلك لا يجوز أن تطبّق عليه قواعد القوى قبل أوانها.

ويسأل الكتاب في هذا الموضع سؤالاً ويتركه مفتوحاً: عندما يكون $m$ عدداً طبيعيّاً، يشير الرمز $e^m$ من جهةٍ إلى حلّ المعادلة، ومن جهةٍ ثانية إلى جداء $m$ عاملاً كلّها تساوي $e$. فهل يقع التباس؟ الجواب لا، لأنّ العددين متساويان فعلاً. والسبب هو قاعدة لوغاريتم القوّة من الدرس السابق: لوغاريتم الجداء المكرّر هو $m\ln e=m$، وهو لوغاريتم حلّ المعادلة نفسه، والتقابل يمنع أن يكون لعددين مختلفين اللوغاريتم نفسه.

4كيف نستعمل هذا الاسم في حلّ المعادلات

فائدة الرمز عمليّة: كلّما عزلت اللوغاريتم في طرفٍ وبقي في الطرف الآخر عددٌ وحده، فالحلّ جاهز: ما داخل اللوغاريتم يساوي $e$ مرفوعاً إلى ذلك العدد.

5النقاط والمماسات الملفتة

على الخطّ البياني نقطتان يجب أن تعرفهما عن ظهر قلب. فاصلتاهما $1$ و $e$، ولأنّ $\ln (1)=0$ و $\ln (e)=1$ فإنّ النقطتين هما $A(1,0)$ و $B(e,1)$. ومحور التراتيب مقاربٌ للخطّ، وهو ما تقوله النهاية عند الصفر.

وبالتعويض تخرج حالتان لافتتان. عند $x_0=1$ يكون الميل $1$ و $\ln 1=0$، فالمماس هو $y=x-1$. وعند $x_0=e$ يكون الميل ${\displaystyle \frac{1}{e}}$ و $\ln e=1$، فيصير الحدّان الأخيران $1-1=0$ والمماس هو $y={\displaystyle \frac{x}{e}}$، وهذا يمرّ بمبدأ الإحداثيّات.

ميل المماس عند الفاصلة $x_0$ هو ${\displaystyle \frac{1}{x_0}}$ لا $\ln (x_0)$. الخلط بينهما من أكثر ما يتكرّر، ونتيجته مستقيمٌ يقطع الخطّ البياني بدل أن يمسّه. وتذكّر أنّ الميل يصغر كلّما ابتعدنا يميناً، وهذا هو سبب تسطّح الخطّ البياني كلّما اتّجهنا يميناً.

6مثال محلول: دراسة تابع لإثبات متراجحة

وهذا نمطٌ ثابت في البكالوريا: يُطلب إثبات متراجحة، والطريق ليس الحساب المباشر بل دراسة اطّراد تابعٍ مساعد. نبني الفرق بين الطرفين ونُثبت أنّه لا ينزل تحت قيمةٍ موجبة.

لاحظ أنّ هذا الجدول لا يحمل شرطةً مزدوجة عند الصفر ولا قيماً في الطرفين، بخلاف جدول $\ln$ في أوّل الدرس. الكتاب يكتفي بما يحتاجه البرهان، وهذه عادةٌ حسنة: الجدول أداة، لا زينة.

وهذه المتراجحة نفسها تعود في الدرس الأخير من الوحدة، حيث تُستعمل لإثبات أنّ $\ln x$ يصغر أمام $x$ عند اللانهاية. فلا تعاملها كتمرينٍ عابر: هي حجرٌ في بناءٍ لاحق.