اشتقاق تابع مركّبالتحليل

1قاعدة السلسلة

تسمحُ المبرهنةُ الآتية بحساب مشتق تابعٍ من الشكل $x\mapsto g(u(x))$ انطلاقاً من معرفة مشتق كلٍّ من $g$ و $u$.

اقرأ الصيغة من الخارج إلى الداخل: اشتقّ الخارجيّ واترك الداخليّ كما هو في مكانه، ثمّ اضرب بمشتق الداخليّ. الترتيب هذا، ولا يُعكس.

وهذه الخاصّة موضعيّة، أي أنّها تُقال عند كلّ نقطة على حدة، فهي تبقى صحيحة حتى لو كان $I$ أو $J$ اجتماعَ مجالات. أمّا برهانها فيتركه الكتاب لقراءةٍ ثانية، وفكرته أن نمدّ كسرَي النهاية بتابعين مساعدين متّصلين عند النقطة، فيصير حاصل ضربهما هو كسر النهاية للتركيب.

وأبسط تطبيقاتها الحالة الخطّيّة: إذا كان $f(x)=g(ax+b)$، فالداخليّ هو $u(x)=ax+b$ ومشتقّه العدد $a$، فيكون $f^{\mathrm{\prime }}(x)=a{g}^{\mathrm{\prime }}(ax+b)$.

2نتيجة 6: الجذر

أوّل ما تُطبّق عليه القاعدة هو الجذر، لأنّه أكثر ما يظهر في المسألة. إذا كان $u$ تابعاً موجباً تماماً واشتقاقيّاً على مجالٍ $I$، كان التابع $f$ المعرّف على $I$ بالصيغة $f(x)=\sqrt{u(x)}$ اشتقاقيّاً على $I$.

خذ $f(x)=\sqrt{x^2+2x+3}$. ندرس أوّلاً إشارة ما تحت الجذر: مميّز ثلاثيّ الحدود $x^2+2x+3$ يساوي $-8$، وهو سالب، فالمقدار موجبٌ تماماً على $\mathbb{R}$ كلّها. إذن التابع معرّفٌ واشتقاقيٌّ على $\mathbb{R}$، ونطبّق الصيغة.

🚨 كثيرٌ من الحلول تختصر الأمر إلى قاعدةٍ: التابع معرّفٌ عندما $0\le u(x)$ واشتقاقيٌّ عندما $0<u(x)$. الشطر الأوّل صحيح، والثاني شرطٌ كافٍ فقط. سيأتي بعد قليل مثالٌ من الكتاب نفسه ينقض استعماله كتكافؤ.

3نتيجة 7: القوّة

والحالة الثانية هي القوّة. ليكن $n$ عدداً صحيحاً لا يساوي الصفر، وليكن $u$ تابعاً اشتقاقيّاً على مجالٍ $I$.

ولا تنسَ أنّ الكسر ${\displaystyle \frac{1}{{(u(x))}^k}}$ هو ${(u(x))}^{-k}$، فتنطبق عليه النتيجة نفسها بأسٍّ سالب. هذا يوفّر عليك قاعدة القسمة كاملةً في أكثر الحالات.

مثال من الكتاب: $f(x)={\displaystyle \frac{1}{{(x^2+x+1)}^3}}$. نكتبه ${(u(x))}^{-3}$ مع $u(x)=x^2+x+1$، وهو موجبٌ تماماً على $\mathbb{R}$، فلا ينعدم.

4الطرف الذي لا تتكلّم عنه القاعدة

نتيجة 6 تشترط $0<u$. فماذا عن نقطةٍ $x_0$ ينعدم عندها $u$؟ هل يمكن للتابع $\sqrt{u(x)}$ أن يقبل الاشتقاق هناك؟

الجواب: نعم، ممكن. النتيجة 6 لا تنصّ على أنّ $u(x_0)=0$ يقتضي أنّ $f$ غير اشتقاقيٍّ عند $x_0$؛ هي ببساطة لا تجيب عن السؤال. وللإجابة نعود إلى تعريف العدد المشتق.

والكتاب يضع مثالين متجاورين، الشرط فيهما واحد والجواب مختلف. الأوّل $f(x)=\sqrt{x-1}$ على $[1,+\mathrm{\infty }[$، وهنا $u(1)=0$. نحسب كسر النهاية عند $1$ في حالة $1<x$.

فالتابع غير اشتقاقيٍّ عند $1$، ومماسه هناك شاقوليّ. والثاني $f(x)=\sqrt{{(x-1)}^4}$ على $\mathbb{R}$، وهنا أيضاً $u(1)=0$. لكنّ الجذر والقوّة الرابعة يختصران.

🚨 فهو كثير حدود، اشتقاقيٌّ على $\mathbb{R}$ كلّها، ومن ثَمّ اشتقاقيٌّ عند $1$. الشرط $u(x_0)=0$ نفسه في المثالين، والجواب مختلف. لهذا لا يصحّ أن تُقرأ النتيجة 6 على أنّها تكافؤ: هي تعطي متى نعرف، ولا تعطي متى لا يكون.

والحالة نفسها تتكرّر مع تابعٍ مركّب آخر: $f(x)=\cos \sqrt{x}$ على $[0,+\mathrm{\infty }[$. المبرهنة 5 تعطي الاشتقاق على $]0,+\mathrm{\infty }[$ وحدها، لأنّ $\sqrt{x}$ ليس اشتقاقيّاً عند الصفر. وبالعودة إلى التعريف يتبيّن أنّ التابع اشتقاقيٌّ عند الصفر أيضاً وأنّ $f^{\mathrm{\prime }}(0)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

5مثال محلول: ربع الدائرة

لاحظ أنّ المشتق غير معرّف عند $1$، لأنّ ما تحت الجذر ينعدم هناك. المماس عند طرف ربع الدائرة شاقوليّ، وهو ما تراه في الشكل: الخطّ ينزل عموديّاً إلى محور الفواصل.