نهايات مهمّة تتعلّق بالتابع الأسّيالتحليل

1الأُسّي يغلب كلّ قوّة

لنطرح السؤال بدقّة. عند $x$ كبيرة، يكبر $x^n$ بلا حدّ، ويكبر $e^x$ بلا حدّ أيضاً. فأيّهما يسبق؟ الجواب أنّ التابع الأسّي يسبق دائماً، ومهما اخترت $n$ كبيرة. جرّب $n=\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}$ إن شئت: عند $x=\mathrm{1<!--\; -->0}$ يكون $x^{\mathrm{1<!--\; -->0<!--\; -->0}}$ أكبر بكثير، لكنّ $e^x$ يتجاوزه لاحقاً ولا يعود ينظر خلفه.

الكتاب يعبّر عن هذا بعبارةٍ اصطلاحيّة: «$x^n$ مهملٌ أمام $e^x$ في جوار $+\mathrm{\infty }$». وهذه العبارة هي المكان الوحيد الملوّن في نصّ الدرس كلّه، بالأزرق. لاحظ ما يعنيه ذلك: الأزرق هنا يعلّم مصطلحاً، لا شرطاً، على عكس الوحدة السابقة حيث كان يعلّم الشرط المنسيّ. والاتّجاه ليس متناظراً: القوّة هي المهملة، والأُسّي هو الغالب.

برهان هذه النتيجة سطرٌ واحد في الكتاب: «يكفي إجراء تغييرٍ في المتحوّل $x\mapsto -x$ في المبرهنة السّابقة». وهو صحيح، لكنّه يمرّ على شيء بصمت: التعويض يُخرج عاملاً $(-1{)}^n$، لأنّ $(-t{)}^n=(-1{)}^n{t}^n$. العامل لا يغيّر النتيجة لأنّ الطرف الآخر صفر، لكنّه يوقف من يحاول التحقّق بنفسه. اكتبه ثمّ اشطبه.

ولا تخلط بين الكتابتين، فالفرق في موضعين معاً. المبرهنة $7$ عند $+\mathrm{\infty }$ وأُسّها سالب: $x^n{e}^{-x}\to 0$. والنتيجة $8$ عند $-\mathrm{\infty }$ وأُسّها موجب: $x^n{e}^x\to 0$. الإشارة في الأُسّ وجهة النهاية يمشيان معاً دائماً؛ من غيّر واحدة ونسي الأخرى حصل على $+\mathrm{\infty }$ بدل الصفر.

2سلسلة الإهمال: من اللّوغاريتم إلى الأُسّي

الوحدة السابقة أعطتنا أنّ ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{x}{\ln x}=+\mathrm{\infty }$، أي إنّ $\ln x$ مهملٌ أمام $x$. وهذا الدرس أعطانا أنّ $x$ مهملٌ أمام $e^x$. فيبدو طبيعيّاً أن نستنتج الحلقة الثالثة.

والكتاب لا يكتفي بالاستنتاج، بل يبرّره بجداءٍ واحد: عند $x>0$ تكون $\frac{e^x}{\ln x}=\frac{e^x}{x}\times \frac{x}{\ln x}$، وكلا العاملين يسعى إلى $+\mathrm{\infty }$، فكذلك الجداء. هذا صادقٌ ومرتّب.

لكن انتبه إلى ما ليس مكتوباً: لا توجد في الكتاب مبرهنةٌ تقول إنّ الإهمال ينتقل بالتسلسل. الكتاب برهن هذه الحالة الواحدة بالجداء، ولم يقعّد القاعدة. فإن استعملت «$a$ مهمل أمام $b$ و $b$ مهمل أمام $c$ إذن $a$ مهمل أمام $c$» في ورقتك، اكتب معها الجداء الذي يبرّرها، ولا تسمّها مبرهنة.

3حركةٌ واحدة تحلّ حالات عدم التعيين

الآن نأتي إلى ما يُطلب في الامتحان. حين يجتمع الأُسّي مع كثير حدود أو مع لوغاريتم، تظهر حالات عدم تعيينٍ من النمط $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ أو $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. والحركة التي تحلّها واحدةٌ لا تتغيّر: أخرِج العامل الغالب، وهو الأُسّي، ثمّ اقرأ ما بقي داخل القوس.

والحركة نفسها تعمل في الكسور. خذ $g(x)=\frac{2e^x+1}{1+e^x}$: عند $+\mathrm{\infty }$ الصيغة $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$، فنُخرج $e^x$ من البسط ومن المقام معاً ونختصره.

وعند $-\mathrm{\infty }$ لا حاجة إلى أيّ حيلة: $e^x$ يسعى إلى الصفر، فتُقرأ العبارة مباشرةً $\frac{0+1}{1+0}=1$. فللخطّ البياني مقاربان أفقيّان، $y=2$ يميناً و $y=1$ يساراً، وهما مختلفان.

4المثال الكبير، وهو مسألة دورة 2026 بعينها

قبل أن تقرأ هذا المقطع، اعرف قيمته. التابع $f(x)=e^{-x}+x-2$ الذي يدرسه الكتاب هنا هو التابع نفسه الذي جاء في المسألة الثانية من دورة $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->2<!--\; -->6}$ بمئة درجة، مع طلبين إضافيّين هما حساب مساحةٍ وسؤالٌ أخير على معادلة. وسلّم التصحيح الرسميّ يوزّع الدرجات على الخطوات التي تراها هنا واحدةً واحدة: النهايات والمشتق والجدول خمسون درجة، المقارب المائل عشرون، الرسم عشر.

بقي الطلب الأخير: كم حلّاً للمعادلة $f(x)=0$؟ نقسم $\mathbb{R}$ إلى مجالَي الرتابة ونطبّق على كلٍّ منهما مبرهنة القيمة الوسطى. على $]-\mathrm{\infty },0[$ التابع مستمرٌّ ومتناقصٌ تماماً، وصورته المجال $]-1,+\mathrm{\infty }[$، والصفر ينتمي إليه، فهناك حلٌّ واحدٌ لا غير. وعلى $[0,+\mathrm{\infty }[$ التابع مستمرٌّ ومتزايدٌ تماماً، وصورته $[-1,+\mathrm{\infty }[$، والصفر ينتمي إليه أيضاً، فهناك حلٌّ ثانٍ. فالمجموع حلّان.

انظر إلى الأقواس، فهي ليست تفصيلاً. المجال الأيسر مفتوحٌ عند الصفر والأيمن مغلقٌ عنده. لو أغلقتَ الاثنين لصار الصفر في المجالين معاً، ولحُسب الحلّ الواحد مرّتين إن صادف أن يقع هناك؛ ولو فتحتَ الاثنين لسقطت النقطة $x=0$ من الحساب. الكتاب يضبط القوسين بدقّة، وهذا هو المكان الذي يضيع فيه نصف البرهان في الامتحان.

5نهاياتٌ مميّزة، والعدد $e$ من حيث لا تنتظره

المقطع الأخير يعالج صيغةً جديدة: $a^b$ حيث $a$ و $b$ تابعان للمتحوّل. والقاعدة فيها واحدة، والكتاب يذكّر بها في مصباح: عُد دائماً إلى التعريف من الدرس الثاني.

وهنا ثغرةٌ أخرى من ثغرات الكتاب في هذا الدرس، وهي أوضحها. التحويل $a^b=\exp (b\ln a)$ مشروطٌ بأن يكون $a$ موجباً تماماً، وإلّا فلا وجود لـ $\ln a$. ومع ذلك لا يذكر الكتاب مجموعة تعريفٍ في أيٍّ من أمثلة هذا المقطع، مع أنّ نصّ السؤال عنده هو «جد نهاية كلٍّ من التوابع الآتية». في $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$ يلزم $x>-1$ و $x\mathrm{\ne }0$. اكتب الشرط دائماً، فهو يُسأل عنه.

وكلمةٌ عن بنية الدرس، تفيدك في المراجعة: تمارين «تدرّب» في آخر الصفحة $\mathrm{1<!--\; -->8<!--\; -->1}$ هي الأمثلة الثلاثة نفسها بصياغةٍ جديدة. سؤالها الأوّل يحمل نصّ أحد أمثلة الكتاب حرفاً بحرف، وسؤالها الثالث نصّ مثالٍ آخر منها كذلك. فمن فهم الأمثلة، حلّ التمارين؛ ومن لم يفهمها، لن ينقذه الحفظ.