معادلات تفاضليّة بسيطةالتحليل

1مفرداتٌ جديدة: ما معنى أن نحلّ

الكتاب يفتح الدرس بفقرةٍ عنوانها «مفردات جديدة»، ويضع فيها التعريف في صلب النصّ لا في إطارٍ مستقلّ. وهو يلوّن كلمتين بالأزرق: الفعل «نحُلَّ» والمصطلح «المعادلة التفاضليّة». لاحظ الفرق عن الوحدة السابقة: هناك كان الأزرق يعلّم الشرط المنسيّ، وهنا يعلّم مفردةً جديدة.

أن نحلّ على مجالٍ $I$ المعادلة التفاضليّة $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ مع $a\mathrm{\ne }0$، بالتابع المجهول $y$، هو أن نعثر على جميع التوابع $f$ الاشتقاقيّة على $I$ والتي تحقّق عند كلّ $x$ من $I$ العلاقة $f^{\mathrm{\prime }}(x)=af(x)$. ويُسمّى مثل هذا التابع حلّاً للمعادلة.

قف عند كلمة «جميع». المطلوب ليس تابعاً يحقّق العلاقة، بل كلّ التوابع التي تحقّقها. ولهذا يكون الجواب في هذا الدرس دائماً عائلةً موصوفةً بوسيطٍ حرّ، لا تابعاً واحداً. ومن كتب تابعاً واحداً حيث تُطلب العائلة، أجاب عن سؤالٍ آخر.

وهنا فجوةٌ في الكتاب تستحقّ أن تعرفها. التعريف يتكلّم على مجالٍ $I$ أيّاً كان، أمّا المبرهنتان اللتان تليانه فتتكلّمان على $\mathbb{R}$ وحدها. الكتاب يطرح السؤال العامّ ويجيب عن الحالة الخاصّة، ولا يقول إنّه فعل ذلك. في الامتحان تأتي المعادلة على $\mathbb{R}$ دائماً، فالفجوة لا تؤذيك عمليّاً؛ لكن اعرف أنّها هناك.

ولاحظ ما لا يقوله الكتاب أيضاً: لا يسمّي هذه المعادلة «خطّيّة»، ولا «من المرتبة الأولى»، ولا «ذات أمثال ثابتة». مصطلحه الوحيد هو «معادلة تفاضليّة». نحن نبقى على مصطلحه، حتّى لا تلقى في الامتحان كلمةً لم تمرّ بك في الكتاب.

2المعادلة الأساسيّة $y^{\mathrm{\prime }}=ay$

الجواب موجودٌ في هذه الوحدة منذ الدرس الثالث. رأينا هناك أنّ ${\left(e^{ax}\right)}^{\mathrm{\prime }}=a{e}^{ax}$، فالتابع $x\mapsto e^{ax}$ حلٌّ للمعادلة. وكذلك ضعفه وثلاثة أضعافه وسالبه، لأنّ الاشتقاق يمرّ عبر العامل الثابت. والمبرهنة تقول إنّ هذه العائلة هي كلّ شيء، ولا حلّ خارجها.

وهنا الفخّ العمليّ الأكبر في الدرس كلّه، وهو غير مسمّىً في الكتاب. المبرهنة مكتوبةٌ للصورة $y^{\mathrm{\prime }}=ay$ وحدها. وفي تمارين الكتاب الأحد عشر، ثلاثةٌ فقط مكتوبةٌ بصورةٍ جاهزة، والثمانية الباقية تحتاج ترتيباً أوّلاً: انقل الحدود، ثمّ اقسم على معامل $y^{\mathrm{\prime }}$، ثمّ اقرأ $a$. والكتاب لا يرتّب معادلةً واحدةً أمامك.

3شرطٌ واحد يختار حلّاً واحداً

العائلة $k{e}^{ax}$ لا منتهية، ولكلّ قيمةٍ لـ $k$ خطٌّ بيانيّ خاصّ. فمتى يصير الجواب واحداً؟ الكتاب يجيب بفقرةٍ عنوانها «نتيجة»، وهي الفقرة الوحيدة من نوعها في هذه الوحدة التي لا تحمل رقماً.

البرهان سطران. كلّ حلٍّ من الشكل $k{e}^{ax}$ بحسب المبرهنة $\mathrm{1<!--\; -->0}$، والكتاب يستعملها هنا دون أن يسمّيها. نفرض الشرط $k{e}^{a{x}_0}=y_0$، فنحصل على $k=y_0{e}^{-a{x}_0}$، وهي قيمةٌ واحدة لا غير لأنّ $e^{a{x}_0}$ لا ينعدم أبداً. نعوّض فنصل إلى الصورة أعلاه.

اقرأ النتيجة هندسيّاً، فالكتاب لا يفعل: بكلّ نقطةٍ من المستوي يمرّ خطٌّ بيانيٌّ واحدٌ من العائلة، لا أكثر ولا أقلّ. اختيار النقطة هو اختيار $k$، والعكس بالعكس. ولهذا تُسمّى مثل هذه الشروط شروطاً ابتدائيّة: هي التي تحوّل عائلةً لا منتهية إلى جوابٍ واحد.

4حين يظهر حدٌّ ثابت: $y^{\mathrm{\prime }}=ay+b$

المعادلة الثانية والأخيرة في الدرس تضيف عدداً ثابتاً إلى الطرف الأيمن. والحيلة في برهانها أبسط من الأولى: إزاحةٌ بمقدارٍ ثابت تعيد المعادلة إلى الصورة التي حللناها.

برهان الاتّجاه الثاني في سطرين: ليكن $g$ حلّاً، ونضع $f(x)=g(x)+\frac{b}{a}$. عندئذ $f^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)=ag(x)+b=af(x)$، فـ $f$ حلٌّ للمعادلة الأساسيّة، أي $f(x)=k{e}^{ax}$ بحسب المبرهنة $\mathrm{1<!--\; -->0}$، ومنه $g(x)=k{e}^{ax}-\frac{b}{a}$.

وهنا الفكرة التي لا يقولها الكتاب، وهي في الحقيقة كلّ ما في المبرهنة $\mathrm{1<!--\; -->1}$: العدد $-\frac{b}{a}$ هو نفسه حلٌّ للمعادلة، وهو الحلّ الثابت. تحقّق بنفسك: مشتقّه صفر، و $a\cdot (-\frac{b}{a})+b=0$ أيضاً. فالجواب العامّ ليس شيئاً جديداً، بل «حلٌّ خاصٌّ واحد، زائد كلّ حلول المعادلة نفسها بلا $b$».

وهذه الجملة الأخيرة اسمها مبدأ التركيب، والكتاب لا يذكره في نصّ الدرس ولا مرّة. ومع ذلك تطلبه ثلاث مسائل من مسائل الوحدة، هي $\mathrm{2<!--\; -->5}$ و $\mathrm{2<!--\; -->6}$ و $\mathrm{2<!--\; -->7}$، ودليل المعلّم يربط هذه المسائل الثلاث بهذا الدرس رسميّاً. فيها يكون الحدّ الحرّ $x^2+1$ أو $2e^{-x}$ أو $-\frac{x+1}{n(n+1)}$، أي غير ثابتٍ في الثلاث، والمبرهنة $\mathrm{1<!--\; -->1}$ لا تشمله. نحن نقول لك المبدأ صراحةً، لأنّ الكتاب لا يضعه في نصّ الدرس بل يبنيه داخل المسائل نفسها، خطوةً خطوة. وصيغته أنّ الجواب العامّ هو حلٌّ خاصٌّ واحد، نرمز إليه $g_0$، مضافاً إليه كلّ حلول المعادلة نفسها بعد حذف الطرف الأيمن.

وكلمةٌ أخيرة عن موقع هذا الدرس. الكتاب يختم الوحدة بصفحتين للمراجعة، فيهما أفكارٌ ومنعكساتٌ وثلاثة أخطاء، ولا يرد في أيٍّ منها ذكرٌ للمعادلة التفاضليّة. من يراجع بتلك القائمة وحدها يحذف هذا الدرس سهواً. وهو مع ذلك مطلوبٌ رسميّاً: دليل المعلّم يجعله الهدف الحادي عشر للوحدة، وقد ورد في دورة $\mathrm{2<!--\; -->0<!--\; -->1<!--\; -->7}$ بأربعين درجة، ويعود في وحدة التكامل مرّةً أخرى.