تمثيل الأشعّة بأعداد عقديّةالأعداد العقديّة

1الشعاع يصير عدداً

في هذه الوحدة كلّها نعمل في مستوٍ مزوّد بمعلم متجانس $(O;\vec{u},\vec{v})$. هذه الجملة ليست مقدّمة شكلية: بلا معلم لا توجد إحداثيّات، وبلا إحداثيّات لا يوجد عدد عقدي نربطه بشيء.

الربط الأوّل تعرفه من قبلُ: لكلّ نقطة $M(x,y)$ عدد عقدي $z_M=x+iy$. الجديد هنا ربط ثانٍ، بالطريقة نفسها تماماً: لكلّ شعاع $\vec{w}$ مركّبتاه $(a,b)$ عدد عقدي.

الشعاع لا موضع له، له اتّجاه وطول فقط. لذلك يحمل شعاعان لهما الاتّجاه نفسه والطول نفسه العدد نفسه، مهما ابتعد أحدهما عن الآخر في المستوي.

أكثر ما يضيّع الدرجات في هذه الوحدة ليس الحساب، بل البدء به قبل تثبيت المعلم. اكتب الجملة أوّلاً، ثمّ احسب.

2النهاية ناقص البداية

نادراً ما يُعطى الشعاع بمركّبتيه. الأغلب أن يُعطى بنقطتين: $A$ بدايةً و $B$ نهايةً. فما العدد الممثّل للشعاع $\overrightarrow{AB}$؟

نكتب النقطتين بإحداثيّاتهما: $A(x_A,y_A)$ و $B(x_B,y_B)$. ومن الهندسة نعرف مركّبتَي الشعاع: كلّ مركّبة هي إحداثيّة النهاية ناقص إحداثيّة البداية.

نطبّق على هاتين المركّبتين تعريف الفقرة السابقة، ثمّ نعيد ترتيب الحدود فيظهر فرق العددين من تلقاء نفسه:

سطر واحد، وهو كلّ ما في الدرس تقريباً: عدد الشعاع هو عدد النهاية ناقص عدد البداية.

الترتيب ليس حرّاً. العدد $z_B-z_A$ للشعاع $\overrightarrow{AB}$، والعدد $z_A-z_B$ للشعاع $\overrightarrow{BA}$، وهما شعاعان متعاكسان. الطول لا يفرّق بينهما، أمّا الاتّجاه فينقلب، وعلى الاتّجاه يقوم الدرس القادم كلّه.

3تساوي الأشعّة ومتوازي الأضلاع

ما دام لكلّ شعاع عدد واحد، ولكلّ عدد شعاع واحد، فإنّ سؤال الهندسة عن تساوي شعاعين صار سؤال حساب: هل العددان متساويان؟ والعمليتان تنتقلان مع الترجمة بلا تغيير.

الشرط على $\lambda$ أن يكون حقيقياً ليس زينة. الضرب بعدد حقيقي يمدّ الشعاع أو يقصره أو يعكسه، ويبقيه على استقامته. أمّا الضرب بعدد عقدي غير حقيقي فيديره ويخرجه عن استقامته، ويضرب طوله بطويلة ذلك العدد، وذلك موضوع الدرس الثالث لا هذا الدرس.

تُترجم هذه النتيجة فوراً أشهر شكل في الامتحان. الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع معناه $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. نستبدل كلّ شعاع بعدده ونعيد الترتيب:

الصيغة الثانية أنظف: لا طرح فيها ولا ترتيب يُنسى. ومعناها الهندسي أنّ للقطرين $[AC]$ و $[BD]$ المنتصف نفسه، وسنرى لماذا حين نصل إلى سطر المنتصف.

4مركز الأبعاد المتناسبة

النقطة المثقّلة $(A;\alpha )$ هي نقطة معها معامل. ومركز الأبعاد المتناسبة لجملة نقاط مثقّلة هو النقطة التي توازن الجملة، والمساواة الشعاعيّة التي تصفه معروفة من قبلُ:

كلّ شعاع في هذه المساواة يبدأ من المبدأ $O$، وعدد المبدأ هو $0$. فالعدد الممثّل للشعاع $\overrightarrow{O{A}_k}$ هو $z_k$ نفسه، والعدد الممثّل للشعاع $\overrightarrow{OG}$ هو $z_G$. نستبدل الأشعّة بأعدادها، فتصير المساواة الشعاعية معادلة عادية بين أعداد:

ثمّ نقسم الطرفين على مجموع المعاملات، وهنا يظهر الشرط الوحيد في المبرهنة:

إذا كان مجموع المعاملات معدوماً فلا وجود لمركز الأبعاد المتناسبة أصلاً، والكسر الذي كتبناه بلا معنى. تحقّق من المجموع قبل أن تكتب الكسر، لا بعده.

سلّم التصحيح يمنح درجات هذا القانون على ثلاث خطوات مفصولة: تكتب القانون، ثمّ تعوّض، ثمّ تعلن النتيجة. ومن يقفز إلى النتيجة وحدها يخسر درجتَي القانون والتعويض.

5المنتصف ومركز الثقل

الحالتان اللتان تتكرّران في الامتحان أكثر من غيرهما هما أبسط حالتين من المبرهنة السابقة: كلّ المعاملات تساوي $1$.

نقطتان بمعاملين $1$ و $1$: المجموع $2$، ومركز الأبعاد هو منتصف القطعة. وثلاث نقاط بمعاملات $1$: المجموع $3$، ومركز الأبعاد هو مركز ثقل المثلّث.

وهنا نفي بالوعد الذي قطعناه عند متوازي الأضلاع. سطر المنتصف يقول إنّ العدد الممثّل لمنتصف $[AC]$ هو $\frac{a+c}{2}$، والعدد الممثّل لمنتصف $[BD]$ هو $\frac{b+d}{2}$. ولمّا كان $a+c=b+d$، فإنّ قسمة الطرفين على $2$ تجعل العددين متساويين، ونقطتان يمثّلهما عدد واحد منطبقتان. إذن للقطرين $[AC]$ و $[BD]$ المنتصف نفسه.

يستعمل الكتاب هذين السطرين فوراً في مسألة لطيفة: إذا كانت $A$ و $B$ و $C$ منتصفات أضلاع $[NP]$ و $[PM]$ و $[MN]$ من مثلّث $MNP$ بالترتيب، فللمثلّثين $MNP$ و $ABC$ مركز الثقل نفسه.

الحلّ لا يحتاج رسماً ولا قياساً ولا حتى أرقاماً. نرمز بـ $m$ و $n$ و $p$ إلى أعداد رؤوس المثلّث الأوّل، فتخرج أعداد المنتصفات من سطر المنتصف مباشرة:

ثمّ نحسب مركزَي الثقل، كلّاً على حدة، بسطر مركز الثقل:

العددان متساويان، فالنقطتان $G$ و $G^{\mathrm{\prime }}$ منطبقتان. لاحظ أنّ كلّ حرف في هذا الحلّ رمز، ولا رقم واحد فيه. هذا أسلوب الكتاب نفسه، وهو أسرع وأقلّ عرضة للخطأ من التعويض بالأرقام.

6ثلاث نقاط على استقامة واحدة

نختم بالمثال المحلول في الكتاب، وهو أوّل ثمرة عملية لسطر النهاية ناقص البداية.

في أرقام هذا المثال نفسه يختبئ سطر المنتصف: $\frac{a+c}{2}=\frac{-\mathrm{1<!--\; -->2}+6i}{2}=-6+3i$، وهو العدد $b$. فالنقطة $B$ منتصف $[AC]$، وهذا يتّفق تماماً مع $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$. الكتاب لا يقولها، لكنّها تخرج من السطرين اللذين تعلّمناهما.

سطران يُحفظان من هذا الدرس كلّه: عدد الشعاع هو النهاية ناقص البداية، وعدد مركز الأبعاد المتناسبة هو المتوسّط المُثقَّل للأعداد. كلّ ما يأتي في الدرسين التاليين مبنيّ عليهما.